数論において, メルテンス関数（メルテンスかんすう、英: Mertens function） は、全ての正整数 n に対し、
（ここで はメビウス関数）として定義される関数である。この関数はに因んで命名された。この定義は、以下のようにして、全ての正の実数に対して拡張可能である:
より非形式的に言えば、 は x 以下の平方因子をもたない整数のうち、偶数個の素因数からなるものの個数から奇数個の素因数からなるものの個数を引いた数である。
最初の143個の M(n) の値は以下のとおりである。
M(n)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+110+10−1−1−2−1−2−2−2−1−212+−2−3−2−1−1−2−2−3−3−2−1−224+−2−2−1−1−1−2−3−4−4−3−2−136+−1−2−100−1−2−3−3−3−2−348+−3−3−3−2−2−3−3−2−2−10−160+−1−2−1−1−10−1−2−2−1−2−372+−3−4−3−3−3−2−3−4−4−4−3−484+−4−3−2−1−1−2−2−1−101296+211110−1−2−2−3−2−3108+−3−4−5−4−4−5−6−5−5−5−4−3120+−3−3−2−1−1−1−1−2−2−1−2−3132+−3−2−1−1−1−2−3−4−4−3−2−1
メルテンス関数は平均値とピーク値のいずれにおいても、正負双方向にゆっくりと増大し、明らかにカオス的な動き方で以下の n の値の時に 0 を通って変動する。 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... .
メビウス関数は −1, 0, +1 のいずれかの値しか取らないので、メルテンス関数はゆっくり変動し、|M(x)| > x となるような x は存在しない。 ハロルド・ダヴェンポート は、任意の固定された h に対して、 に関して一様に
であることを示した。これは、 の場合である、
を含意する。
はより強く、メルテンス関数の絶対値が x の平方根を超えるような x は存在しないという主張だった。メルテンス予想は偽であることが1985年にとによって証明された。しかしながらリーマン仮説は M(x) の増大についてのより弱い予想、すなわち M(x) = O(x1/2 + ε) と等価である。それによれば、M(x) の最大値は少なくとも と同じ速さで増大することになり、これは増大率のかなりきつい上限を与える。ここで、O は ビッグ・オー記法である。
メルテンス関数 M(x) の真の増大率は知られていない。Steve Gonek による未出版の予想は、
であると主張している。
この予想を支持する確率的な証拠が Nathan Ng によって与えられている。とくに、 Ng は関数 が極限分布 を 上でもつ場合の条件付き証明を与えている。これは、全ての有界でリプシッツ連続な実数上の関数 に対し、
という結果が、リーマンゼータ関数に関する多数の予想を仮定すると得られるからである。
関連項目 ペロンの公式 リウヴィル関数
出典
参考文献
Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. Computing the summation of the Möbius function
Nathan Ng, "The distribution of the summatory function of the Möbius function", Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361-389.