波動幾何学（はどうきかがく、英: wave geometry）は、1934年（昭和9年）10月に三村剛昂（広島文理科大学、のち広島大学理論物理学研究所所長）を中心に、広島市在住の物理学者・数学者からなる研究グループによって提唱された統一場理論である。一般相対性理論と量子力学を統合することを目指し、ポール・ディラックがクライン・ゴルドン方程式を一次化してディラック方程式を導いた手法を計量そのものに適用しようとする体系であった。研究グループは同時代のイギリスの科学誌『ネイチャー』に複数回紹介され「広島学派」（Hirosima school）と呼ばれた"Hirosima School of Theoretical Physics", Nature, Vol. 136 (1935), p. 994."Hirosima Wave Geometry", Nature, Vol. 141 (1938), p. 1043.。2008年にはケンブリッジ大学の物理学者ポール・タウンゼントが、この理論の中核をなす方程式が現代の超重力理論におけるキリング・スピノルの方程式と数学的に同一の構造を持つことを指摘し、再評価を受けた。
提唱の背景 アインシュタインに始まる統一場理論の流れと、その後に発展した場の量子論の流れが合流する形で、波動幾何学は微視的時空の構造を解明すべく物質場をも含む統一場理論として構想された。三村と、広島文理科大学数学科教授の岩付寅之助が中心となり、1934年10月に研究が始められた。奇しくも同じ月に、三村と親交のあった湯川秀樹が中間子論の着想を得ている。
理論の出発点となる根本思想は、次の三つにまとめられる。 物理現象の起こっている世界は四次元時空であろう。 四次元時空に「時空の状態」と称すべきものを付随させるべきであろう。 四次元時空における二つの点の間の距離というものは、その時空における演算子と考えるべきであろう。
数学的な定式化 巨視的空間における経験を基に形成された従来の幾何学では、ピタゴラスに始まりリーマンによって拡張された体系も含め、二次形式の計量を基本としていた。波動幾何学はこの前提をさらに一歩超えて、微視的空間という直接経験を超えた世界の長さを表現する数学的表示を得ようとする問題提起から出発した。
ヒントとされたのは、ディラックが二階の波動方程式（クライン・ゴルドン方程式）を一次化することで、粒子の内部自由度（スピン）を記述できる相対論的で精密な理論（ディラック方程式）を導いた手法である。波動幾何学は、一般相対性理論における二次形式の計量を同様に一次化し、微視的時空における二点間の距離を表す一次形式 ds = γidxi を得た。さらに量子力学の原理に基づき、この距離という物理量を演算子とみなし、時空の状態を表す波動関数に作用させた dsψ を新しい基本的な計量として定義した。
物理現象の生起する時空は、一次化された行列計量 dsψ が与えられた四次元多様体であるという考えのもとに理論は展開され、物理量だけでなく物理法則そのものが幾何学化された形、すなわち変分原理を必要としない理論体系となっていた。
中心となった方程式は、時空の曲率を織り込んだ微分演算子 Dμ と追加の行列項 Mμ を用いて (Dμ + Mμ)κ = 0 の形に表され、κ はスピノルと呼ばれる量子力学的な波動関数である。研究グループの主要な作業は、この方程式がゼロでない解 κ を持つような一般化された接続（時空の形）を分類することであった。
広島学派 1935年2月、広島文理科大学欧文紀要第5号に第1論文が掲載されると、『ネイチャー』誌が1935年・1937年・1938年に相次いで研究の進展を紹介し、1937年時点で論文数はすでに15編に達していた。
初期の共同研究者には、東北帝国大学数学科出身で広島文理科大学数学科教授の岩付寅之助、同じく東北帝大数学科出身で広島高等学校教授の細川藤右衛門、岩付の門下生として1932年に広島文理科大学を卒業した森永覚太郎・柴田隆史がいた。その後、文理科大学を卒業した竹野兵一郎、市丸九州男、佐久間澄らが加わり、研究グループは物理学者・数学者合わせて約10名となった。10年間で原著論文60編あまりが発表され、異なる専門分野の研究者による共同研究としては当時としては他に類例のない画期的な規模であった。
研究の集大成は、三村と竹野兵一郎の共著 Wave Geometry（広島大学理論物理学研究所欧文報告第2号、1962年）としてまとめられ、続編として三村・竹野・佐久間澄・上野義夫の共著 Wave Geometry II（同第6号、1967年）も刊行された。
理論物理学研究所の設置
研究内容が増大する一方、戦時下の科学振興政策により理科系学生の定員が倍増されると、研究者の授業負担が増し共同研究の継続が困難となった。三村は研究所の設置を文部省に多年にわたり要請し、1944年（昭和19年）8月23日、「物理学ノ基礎理論ニ関スル総合的研究」を目的とする広島文理科大学附属理論物理学研究所を設置する勅令が公布された。これは日本で最初の理論系物理学専門の研究所である。第二次世界大戦末期にあたり、この時点で波動幾何学そのものの研究は事実上休止されていた。
1945年8月6日の広島市への原子爆弾投下により研究所は壊滅し、岩付寅之助ら関係者が犠牲となった。戦後、研究所は三村のもとで再建され、1990年に京都大学基礎物理学研究所に統合されるまで存続した。
現代物理学との関連 湯川秀樹の中間子論が大きな成功を収めたこともあり、波動幾何学は日本の物理学史のなかで長く言及される機会の少ない研究であった。
2008年、ケンブリッジ大学の理論物理学者ポール・タウンゼントは論文 "From wave geometry to fake supergravity" において、戦前の広島のプログラムで探究された方程式 (Dμ + Mμ)κ = 0 が、現代の「フェイク超重力理論」（fake supergravity）の中心方程式と同一のものであると指摘した。タウンゼントによれば、三村らが分類しようとした「一般化された接続のもとで共変的に一定なスピノル」は、今日キリング・スピノルと呼ばれる対象にあたり、宇宙論の解、平坦なドメインウォールの解、インスタントン解が同一の方程式で結ばれることを示す道具として、超弦理論・M理論において超対称性を保つ解を分類する作業と数学的に同じ構造を持つ。同論文は冒頭で三村・竹野の Wave Geometry（1962年）を引用している。
脚注
参考文献 里見志朗「三村剛昂の研究と教育 ―広島県竹原に生まれた理論物理学研究所の創立者―」『大学の物理教育』2001.1巻、日本物理学会、2001年、2・12-16頁。 藤川和男「物理法則の幾何学化」『科学』第61巻、岩波書店、1991年、315-323頁。 広島大学理論物理学研究所『広島大学理論物理学研究所史』1990年。 上野義夫「"波動幾何学"の思い出」『アインシュタインと現代の物理』ダイヤモンド社、1979年、211-234頁。
関連項目 三村剛昂 藤川和男 広島文理科大学 (旧制) 統一場理論 キリング・スピノル 超重力理論 ディラック方程式 京都大学基礎物理学研究所