ユークリッド幾何学における等弦点の問題（とうげんてんのもんだい、）あるいは等弦点問題は、ユークリッド平面上の閉じたが2つのを持ちうるかという問題である。1916年に藤原松三郎が、1917年にヴィルヘルム・ブラシュケ、、ローラント・ヴァイツェンベックが提起した。1997年に Marek R. Rychlik がより一般的な問題を以て否定的に解決した。
問題 thumb|等弦曲線と等弦点 等弦曲線 () とは、閉じた平面曲線であって、平面上にある点が存在してその点を通る任意の弦の長さが等しくなるものをいう。そのような点を等弦点という。等弦点を1つ持つ等弦曲線は容易に構成できる。最も簡単な例に対称な曲線である円が挙げられる。
2つの等弦点を持つ凸な等弦曲線は存在しないと予想されていた。より一般に、2つの等弦点を持ち、それぞれの等弦点に対して星状であるジョルダン曲線が存在するかという問題が考えられた。
離心率 等弦曲線に関する多くの結果は、離心率 (excentricity) に言及している。離心率が小さいほど、2つの等弦点を持つ曲線の存在を否定することは困難である。離心率が小さければその曲線の形状が円に近いことを厳密に示すことができる。
2つの等弦点を持つ凸曲線が存在すると仮定する。2つの等弦点を通る弦の長さをと置くと、離心率は
である。ここで は2点の距離を指す。 歴史 1916年、藤原によって3つの等弦点を持つ曲線は存在しないことが示された。 1917年、ブラシュケとローテとヴァイツェンベックが等弦点問題を定式化した。 1923年、ジュースが曲線は存在すれば対称かつ一意であることを示した。 1953年、は存在を仮定して曲線に対する具体的な有界性を与えた。 1958年、が曲線は存在すれば解析的であることを示した。また、問題が であると同定した。 1966年、は等弦曲線の離心率は0.5を超えないことを示した。 1974年、Hallstrom は曲線が存在すれば満たすべき条件（一意性・解析性・対称性）を示した。また、この条件によって（十分な計算能力がある場合に）任意の特定の離心率において、曲線の非存在を示す方法を得た。 1988年、 Michelacci は部分的に計算機を利用して、等弦曲線の離心率が0.33以下であることを示した。 1992年、Schäfke と Volkmer は求める曲線の取り得る離心率の値が高々有限個であることを示した。計算機を利用し、想定される曲線に対して極めて精度の高い近似を求めることで証明した。 1996年、Rychlik が問題を完全に解決した。
Rychlik の証明 Marek Rychlik は、2つの点に対し星型である曲線は等弦点を持たないことを示し、その特殊な場合として等弦点問題を否定的に解決した。
を導入し、と安定多様体の理論を 上の多価関数へ一般化した。この手法によって、複素解析の大域的な方法が応用できる。宇敷の定理の証明にも用いられた手法であった。
出典