thumb|における分割の例。 ボルスク予想（ボルスクよそう）あるいはボルスクの問題は、カロル・ボルスクに因んで名付けられた離散幾何学の問題である。
問題 1932年、カロル・ボルスクは3次元ユークリッド空間の球体を、球体の直径よりも小さいを持つ部分に4分割した。より一般にボルスク・ウラムの定理を基に、 次元球体を、球体よりも小さい直径を持つ 個のコンパクト集合で覆えること、 個では覆えないことを示した。そして次の問題を考えた。
次の特殊な場合は肯定的に解決された。 : ボルスクの元の論文で示された。 : (1947)、H. G. Eggleston (1955) によって示された。後にブランコ・グリュンバウムと が単純な証明を発見した。 滑らかな凸集合 : フーゴー・ハドヴィガー (1946) 中心対称な集合 : A.S. Riesling (1971) 回転体 : Boris Dekster (1995)
否定的解決と最小の次元
1993年、とが問題を否定的に解決した。 と において 個の分割では不十分であることを示した。しかし Bernulf Weißbach によって証明に誤りのあることが指摘された。導出過程を修正して、（から1560まで）における反例となる点集合が構成された。
2003年、 と Richter により、 における 個では不十分な例が構成された。
2013年、Andriy V. Bondarenko が の場合を示した。その直後、Thomas Jenrich が Bondarenko の手法を用いて64次元における反例を構成した。2026年5月、Max Grinsztajn がOpenAIの を利用して63次元の反例を構成した。2026年10月、OpenAIは社内AIにより9次元の反例を構成したと発表した。 関連する結果 次元の最小値の他に、分割部分の最小個数 についても研究されている。カーンとカライは が十分大きい時に 個への分割が必要であることを示した。オデッド・シュラムは、任意の に対し、 が十分大きければ であるという上界を示した。 の正確なオーダーは未だ知られていない。ある定数 が存在し、任意の に対して であると予想されている。
シュラムは関連する問題に取り組んだ。定幅図形 において、（ は 次元単位球体）が成立するとき、 は effective radius を持つという。シュラムは下界 を示した（ は 上の幅が2の図形の最小の effective radius）。また、 が存在して任意の で が成立するか、すなわち最小・最大の定幅図形の体積の差が指数関数的に増大するかを問い掛けた。2024年、Arman, Bondarenko, , Prymak, はプレプリントにおいて を満たす構成を発見し、肯定的に解決したと述べた。
デイヴィッド・ゲールは、単位直径を持つ立体は直径 を持つ4つの立体に分割できることを予想した。この意味で球は最悪の立体である。
1971年、2, 3次元の球面、双曲空間でボルスク予想の類似問題が肯定的に解決された。1991年、この結果は中心対称な凸超曲面に対して任意の次元へと一般化された。
2012年、ユークリッド距離あるいは距離を備えた におけるボルスク予想の類題が研究された。2019年には任意の有界距離空間における関連問題が検討された。
脚注
注釈
出典
参考文献
関連項目
外部リンク