対数ロジスティック分布（たいすうロジスティックぶんぷ、）は確率論や統計学における連続確率分布の一種。経済学ではFisk分布としても知られている。非負なる実数を台に持つ。この分布は、発生率が初期に上昇しその後低下する事象に対するとして用いられ、例えば生存分析における例えばがんの診断や治療後の死亡率のような現象の説明に利用される。他にも、水文学において河川流量や降水量のモデル、経済学における所得分布を表すモデル、コンピュータネットワークにおける(ネットワークとソフトウェアの両方を考慮した)データの伝送時間のモデルなどでも利用される。
を対数ロジスティック分布に従う確率変数としたとき、確率変数 はロジスティック分布に従う。同じことであるが、 がロジスティック分布に従うとき、 は対数ロジスティック分布に従う。
対数ロジスティック分布は対数正規分布と類似した形状を示すが、そちらよりも裾の重い分布である。一方、対数正規分布と異なり、対数ロジスティック分布の累積分布関数は初等的に解ける形を持つ。
パラメータ化 対数ロジスティック分布は2つの母数を持つ確率分布であるが、それらの割り当て方としていくつかの異なる手法が用いられている。この項目の大部分で採用されているものは、パラメータの解釈が比較的容易であり、かつ累積分布関数の単純な形式を与える。
この表し方では、2つのパラメータ , のもとでの累積確率分布は
で与えられ、確率密度関数は
で与えられる。
代替的なパラメータ化 ロジスティック分布の類推で、 によるパラメータ化が使われることもある。この場合、 によるパラメータ化とは なる変換で相互に行き来できる。この場合の確率密度関数は
となる。
性質
モーメント 対数ロジスティック分布の 次モーメントは、 を満たす範囲で有限の値
となる。ここで、 はベータ関数であり、二行目への変換にはガンマ関数のを用いる。 ロジスティック分布の期待値、分散、歪度、尖度などはこの式から計算できる。例えば、この分布の平均値は
である(なお、 の場合の期待値は である)。一方、この分布の分散は
となる。歪度や尖度の具体的な式はさらに長くなる。
の極限では、平均値は に、分散や歪度は 0 に、超過尖度は にそれぞれ限りなく近づく。 での分布としての振る舞いは項目下部を参照せよ。
分位数 この分布の、すなわち累積分布関数の逆関数は
である。 をそれぞれ代入することで、この分布の四分位数がそれぞれ であることが導かれる。
応用
生存分析 対数ロジスティック分布は生存分析におけるパラメトリックモデルの一つを与える。この分野でより一般的に利用されるワイブル分布とは異なり、対数ロジスティック分布は単調ではないハザード関数を実現することができる。実際、 の場合はハザード関数は単調減少関数となるが、 の場合にハザード関数は単一のピークを持つ。 また、累積分布関数が閉じた形で書けるという事実は、特に打ち切りのある生存データに関する解析の際に有用である。
対数ロジスティック分布はの基礎として用いることもできる。この応用では、 を変化させずに、 を興味のあるグループごとに変化させる。より一般的には、 には影響を与えないが に線形に影響するような新しい独立変数を導入することがある。
対数ロジスティック分布の生存関数は
であり、ハザード関数は
である。
水文学 対数ロジスティック分布は、水文学において河川流量や降水量をモデル化する際に用いられてきている。
1日あたりの最大降水量や、月別・年別の河川流量といった極値は、多くの場合、対数正規分布に従う。しかし、対数正規分布の分位関数は解析的に与えることができない一方で、対数ロジスティック分布のそれは解析的に与えられ、かつ形状が類似しているので、代用的に用いられることもある。
経済学 経済学の分野では、対数ロジスティック分布はFisk分布と呼ばれ、富や所得の分布を表す単純なモデルとして用いられている。
対数ロジスティック分布のジニ係数は期待値が発散しない場合、すなわち の場合に定義され、その値は
である。
コンピュータネットワーク 対数ロジスティック分布は、あるデータがコンピュータ上のソフトウェアユーザーアプリケーションから送信され、他のコンピュータ、アプリケーション、およびネットワークセグメントを経由して処理された後、同じアプリケーションにレスポンスが受信されるまでの期間のモデルとして用いられてきている。これらのコンピュータ、アプリケーション、およびネットワークセグメントのほとんど、あるいはすべては、厳密なリアルタイム保証がないものである(例えば、アプリケーションがインターネットに接続された遠隔センサーからのデータを表示している場合など)。これらの時間のシーケンスにおける急激な状態変化が適切に検出される限り、対数ロジスティック分布は、対数正規分布やその他のモデルよりも、この現象をより正確に記述する確率モデルであることが示されている。
関連する確率分布 ここでは で、確率変数 が対数ロジスティック分布に従うことを表すものとする。
の時、 に対して である。 の時、 に対して である。 対数ロジスティック分布はの特別な場合である。具体的には、 ならば である。 対数ロジスティック分布はの特別な場合でもある。具体的には、 ならば である。 対数ロジスティック分布は一般化第2種ベータ分布の特別な場合でもある。具体的には、 ならば である。 である時、確率変数 は位置母数 、スケールパラメータ のロジスティック分布に従う。 を限りなく大きくしていくと、その形状は(非常に小さな区間に集中している)ロジスティック分布となる。大まかには十分大きな に対して、 のように振る舞う。
の対数ロジスティック分布は 一般化パレート分布の特別な場合である。具体的には次が成立する:
別のパラメータ(シフトパラメータ)を追加すると、形式的にはとなるが、通常はこの分布の上限または下限を定めることができるようにほかのパラメータ化をとる。
一般化 対数ロジスティック分布を特別な場合として再現するいくつかの確率分布は一般化対数ロジスティック分布と呼ばれることがある。やはその一例である。これらはさらに一般的な第2種一般化ベータ分布の特殊なケースである。
対数ロジスティック分布のもう1つの、より単純な一般化として、が挙げられる。
他の一般化として、の対数変換が挙げられる。これは、ロジスティック分布の2つのパラメータを、分位数 の冪級数として置き換えることで得られる確率分布である:
の場合は2定数がそのままロジスティック分布のパラメータに対応し、 ではその一般化となる。これを対数変換することで得られる対数metalog分布は、形状の柔軟性が高く、単純な閉形式の確率密度関数および分位関数を持ち、線形最小二乗法を用いてデータに適合させることができ、対数ロジスティック分布をその特殊なケースとして包含している。
関連項目
ロジスティック分布 対数一様分布 対数正規分布
脚注