ルジンの問題（Luzin's problem）または正方形分割正方形問題（Squaring the square）は、正方形に関してニコライ・ルジン () が考えた問題である。
「任意の正方形を、複数の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、その後いくつかの例が発見された。
最小の解
最小の解は21個で、 がコンピュータを使って発見し、それが最小の解であることを証明したA. J. W. Duijvestijn, "A Simple Perfect Square of Lowest Order." J. Combin. Th. Ser. B 25, pp. 240–243, 1978. 。1辺 112 の正方形を、一辺の長さがそれぞれ 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 の計21枚の正方形で、隙間なく埋めつくすことができる()。
正方形を上辺から順番に敷き詰めて置く様子を加味して下記のように書き表すことができる。
面積から検算すると、となって正しい。
ダイヴェスタインは22個の正方形からなる解も発見した。一辺の長さは最小の解よりも短い110であった。
部分的な解決
不完全正方分割正方形 サム・ロイド
完全正方分割長方形 ズビグニュー・モロン（Zbigniew Moroń, 1904–1971）
複合正方分割正方形 ローランド・スプレーグ（Roland P. Sprague, 1894-1967）
単純完全正方分割正方形 ロナルド・ブルックス
３次元への拡張 任意の立方体を全て異なる大きさの立方体で分けることは不可能で、これは背理法を用いることで比較的簡単に以下のように説明することができる。
仮に立方体Aを全て異なる大きさの立方体で分けたとする。するとAの底面はこれらの立方体の底面により、分割されることとなる。Aの底面を分割している立方体の中で最も小さい立方体は、底面の角や辺に接することはなく四方を分割する立方体に囲まれている（これは底面の正方形分割について考えることで、背理法によって導かれる）。さらに、この立方体は隣接しているどの立方体よりも高さが低いので、その上には正方角柱状のくぼみが出来る。そのくぼみには、くぼみより大きい立方体を入れることはできない。 また、くぼみの底と等しい大きさの立方体を使うこともできない。このくぼみより小さい立方体を使うことが考えられるが、くぼみの底には全て異なる大きさの立方体を使わなければならず、この問題が無限に繰り返されることとなり、立方体の数の有限性に矛盾する。したがって、立方体を有限個の異なった大きさの立方体として分割することはできない。
脚注
参考文献 A. J. W. Duijvestijn, "A Lowest Order Simple Perfect 2×1 Squared Rectangle."J. Combin. Th. Ser. B 26, pp. 372–374, 1979. A. J. W. Duijvestijn, "SIMPLE PERFECT SQUARED SQUARES AND 2 x 1 SQUARED RECTANGLES OF ORDER 25" Math. Comp. 62 , pp. 325–332, 1994
関連項目 平面充填 阿部楽方 - 正方形分割正方形を利用した「正方形分割224魔方陣」を発表した。
外部リンク Perfect squared squares: http://www.squaring.net http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf Nowhere-neat squared squares: http://karlscherer.com/prosqtre.html http://karlscherer.com/prosqtsq.html