五角錐

五角錐（ごかくすい、）とは、底面が五角形の角錐である。

五角錐を用いると他の多くの多面体を構成することができる。また五角錐は、立体化学において五角錐形分子構造として、同様にポテンシャルエネルギー曲面下におけるシェルアセンブリングや、の、そして錐形銅と他の金属ナノワイヤーに関連する形状として自然科学の分野にも現れる。

正五角錐 底面が正五角形で、頭頂点から底面に下ろした垂線が底面の中心で交わるものを正五角錐といい、その側面は二等辺三角形である。

底面の正五角形の一辺の長さを,側面の脚(二等辺三角形の長さが等しい二辺)の長さをとすると、正四角錐の高さと体積は

となり、表面積は となる。

他の正多角錐と同様に、正五角錐は、巡回群による対称性を持つ。この四角錐は回転対称であり、底面の正五角形の中心と頂点を結ぶ直線を軸として回転させると元の立体と完全に重なる。またでもあり底面の対称軸を通り、底面に垂直な平面を対称面に持つ。これは車輪グラフとして表せる。つまりこれの骨格は5つの頂点がという中心で結ばれている正五角形として解釈できる。正五角錐は自己双対で、つまり正五角錐の双対多面体は正五角錐自身である。。

完全正五角錐

正五角錐で側面がすべて正三角形のものは完全正五角錐といい、ジョンソンの立体となる。側面の正三角形同士の二面角は、側面と底面の二面角はである。一辺の長さをとすると表面積と体積は

この正五角錐はである。つまりこの立体は一つの平面によって二つのより小さな正多角形のみからなる多面体に分けることができない。

またこの五角錐は、直交座標系において以下のように表される頂点を適当に結ぶことで構成される。:ここでは黄金比である。

ジョンソンの立体となる角錐は完全正四角錐と完全正五角錐のみである。(三角錐は正四面体、六角錐は正三角形だと重なってしまう。)

応用 立体化学において原子団は五角錐形構造を取りうる。この分子は活性な孤立電子対を持つ典型元素を持ち、これは原子の幾何学的構造を予想する原子価殻電子対反発則から説明される。このような構造を持つ分子としてケージ型の炭酸塩CB5H9がある。

カプシドとして知られるウイルスの殻の形状は五角あるいは六角錐に近い形のピースからモデル化される。これらの形状は天然ウイルスのタンパク質サブユニットに似せるために選択された。錐の間の引力と斥力を適切に選択することで、錐が自然界でみられる正二十面体型カプシドに自己組織化できることが判明した。

双晶化した銅粒子の内部弾性応力場における応力緩和はによるものである。その双晶の形状として、対称性を保ちつつ大きく成長させることを可能にする五角錐がある。これは、電解液中での初期結晶成長過程によって活性化したカソードと、アルミニウムと酸化ケイ素の研磨粒子を移動させることによって成形される。

近縁な立体

参照 出典

参考文献

外部リンク

Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra ( VRML model )

関連項目 角錐 – 三角錐 – 四角錐 - 五角錐 - 六角錐 ジョンソンの立体 五角堂

六面体 五角錐数