数学上の未解決問題

数学上の未解決問題（すうがくじょうのみかいけつもんだい、）とは、未だ解決されていない数学上の問題である。未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在するが、ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけの単純明快さ故に数多くの数学者達が証明を試みてきたような有名な命題のみを列挙する。

ヒルベルトの23の問題

1900年にダフィット・ヒルベルトによりまとめられた23の未解決問題。半数以上が解決されているが、現代でも未解決な問題が残っている。

ミレニアム懸賞問題

2000年に発表された7つの未解決問題。数学的に重要な意味があるとされ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。 P≠NP予想ホッジ予想ポアンカレ予想（解決済み）リーマン予想ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ BSD予想主な未解決問題以下では、特に断りがない限り、は自然数とし、記数法は十進法とする。

「―は無数に存在するか」系

双子素数は無数に存在するか。三つ子素数は無数に存在するか。四つ子素数は無数に存在するか。メルセンヌ素数は無数に存在するか。等価の問題として、偶数の完全数は無数に存在するか。合成数のメルセンヌ数 ( は素数 )は無数に存在するか階乗素数は無数に存在するか。素数階乗素数は無数に存在するか。正則素数は無数に存在するか。幸運素数は無数に存在するか。カレン素数は無数に存在するか。ウッダル素数は無数に存在するか。プロス素数は無数に存在するか。ピアポント素数は無数に存在するか。サービト素数は無数に存在するか。エマープは無数に存在するか。回文素数は無数に存在するか。レピュニット素数は無数に存在するか。ハッピー素数は無数に存在するか。フィボナッチ素数は無数に存在するか。リュカ素数は無数に存在するか。ペル素数は無数に存在するか。ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか。長さのカニンガム鎖は無数に存在するか。正の約数の総和が素数になる自然数は無数に存在するか。 3個の素数の積であるカーマイケル数は無数に存在するか調和数は無数に存在するか。超完全数は無数に存在するか。乗法的完全数は無数に存在するか。友愛数は無数に存在するか。婚約数は無数に存在するか。社交数は無数に存在するか。ルース＝アーロン・ペアは無数に存在するか。

「―は存在するか」系

奇数の完全数は存在するか。一般に、1以外の奇数の倍積完全数は存在するか。奇数の超完全数は存在するか。準完全数は存在するか。概完全数は2の冪(1, 2, 4, 8, 16, ...)以外に存在するか。偶数と奇数の組の友愛数は存在するか。互いに素な友愛数は存在するか。偶数同士、奇数同士の婚約数は存在するか。 3個組の社交数は存在するか。 7個組の社交数は存在するか。 10個組の社交数は存在するか。 1以外の奇数の調和数は存在するか。奇数の不思議数は存在するか。奇数のサブライム数は存在するか。合成数のフォーチュン数は存在するか。リクレル数は存在するか。がともに素数であるは3以外に存在するか。との間に必ず素数は存在するか。（ルジャンドル予想）ウォルステンホルム素数は16843と2124679以外に存在するか。ウィルソン素数は5, 13, 563以外に存在するか。累乗数のトリボナッチ数は1,4,81,3136,10609以外に存在するか。累乗数のテトラナッチ数は1,4,8以外に存在するか。累乗数のペンタナッチ数は1,4,8,16以外に存在するか。累乗数のパドヴァン数は1,4,9,16,49以外に存在するか。平方数の因数をもつメルセンヌ数 ( は素数 )は存在するか。平方数の因数をもつフェルマー数は存在するか。素数のフェルマー数 ( ) は存在するか。 6個以下の6乗数の和で表すことができる6乗数は存在するか。正規数でない代数的数かつ無理数である数は存在するか。

「―はいくつか」系

最小のシェルピンスキー数は78557か。シェルピンスキー数のうち、最小の素数は271129 か。シェルピンスキー数の最初の2個は78557、271129 か。最小のリーゼル数は509203か。最小のブリエ数は3316923598096294713661 か。 3倍完全数は6個か。 4倍完全数は36個か。 5倍完全数は65個か。倍積完全数が存在するのは11倍までか。基準完全数は5個か。サブライム数は2個か。社交数が存在するのは28個組までか。

「―は超越数か」系また、これらの無理数度の値は何か？

は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。は超越数か。（オイラーの定数）は超越数か。カタランの定数は超越数か。は超越数か。フィボナッチ数列の逆数和は超越数か。ブルン定数は超越数か。

分野別主な未解決問題数論

ゼータ関数・L関数の零点に関する予想

リーマン予想一般化されたリーマン予想

ヒルベルト・ポリア予想モンゴメリー・オドリズコ予想

素数の分布に関する予想

ルジャンドル予想

アンドリカの予想

ブニャコフスキー予想

ディオファントス方程式

ABC予想合同数の問題マルコフ数の一意性予想ピライの予想

ゴールマハティヒ予想ブロカールの問題

単位正方形の有理距離問題ビール予想フェルマー＝カタラン予想エルデシュ＝シュトラウス予想

加法的整数論

ゴールドバッハの予想

コラッツの予想ウェアリングの問題切手問題フロベニウスの硬貨交換問題ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

スコーレム問題

ラングランズ・プログラム

その他

カーマイケルのトーシェント関数予想カタランのアリコット数列予想

スピロ予想

代数学

有理数体の絶対ガロア群の構造アルティン予想ガロアの逆問題バーンサイド問題一般ムーンシャイン予想コクセター群の同型問題ケーテ予想ジャコブソン予想

ボスト予想

類数問題スターク予想ヴォイタ予想アダマール予想

代数幾何学

BSD予想ホッジ予想

バスの予想

中井予想代数的サイクルの標準予想テイト予想 (代数幾何学)

解析学

ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題掛谷問題レーマーの予想

素数計数関数が対数積分より大きくなる最小のは何か。

ユークリッド幾何学

ソファ問題接吻数問題

離散数学

シングマスター予想グラハム問題根上の予想

切手折り問題

コンウェイの問題藤村の三角形問題トムソン問題

計算複雑性理論

P≠NP予想 P = L か。 NL = L か。指数時間仮説

近年解決された主な問題

連続体仮説（1963年）オイラー予想（1966年）ヴェイユ予想（1974年）四色問題（1977年）ビーベルバッハ予想（1985年）フェルマーの最終定理（1994年）ケプラー予想（1998年）谷山–志村予想（1999年）加藤予想（2001年）カタラン予想（2002年）ポアンカレ予想（2002年）（2002年）有限単純群の分類（2004年）グリーン・タオの定理（2004年）佐藤・テイト予想（2006年）弱いゴールドバッハ予想（2013年) （2017年）アインシュタイン問題（2023年）ソファ問題（2024年） 3次元掛谷予想（2025年）ヤコビアン予想（2026年）

脚注

注釈

出典

関連書籍「数学100の問題歴史を彩る発見と挑戦のドラマ」数学セミナー増刊日本評論社 1984年9月25日

数学上の未解決問題

Źródło i licencja