斜交座標系

right|斜交座標系（2次元）斜交座標系（しゃこうざひょうけい、）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系 2本の数直線が共通の原点をもち、なす角（ただし）で交わっているとき、その座標系は軸、軸からなる斜交座標となる。座標平面上の全ての点は、その点から軸、軸に関して平行線をひくことにより、と一意に表すことができる。逆に座標が与えられれば、の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換軸、軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つ軸、軸からなる直交座標系について、軸、軸が軸となす角をそれぞれとする。斜交座標系でと表されている点を直交座標に座標変換する公式は以下である：

直交座標系はこの表記ではの場合である．

内積

直交座標系の場合は、2つのベクトルの内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

あるいは次のようにも表現できる：

このとき、添字が上についている量（など）を反変成分、下についている量（など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）をとすれば、反変成分を用いて

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして：軸（または）に垂直で長さがのベクトル：軸（または）に垂直で長さがのベクトルとすれば、共変成分を用いて

と書くことができる。

上記の議論はを入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル式()の右辺に表れた行列

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。斜交座標系では計量テンソルは

となる。また反変成分と共変成分の変換は

とシンプルに表すことができる．

多次元の場合

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

脚注

注釈

出典

Źródło i licencja