多項分布（たこうぶんぷ、）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。
二項分布は、 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（ 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は （すなわち、 について であり、 が成り立つ）であり、 回の独立した試行が行われる。確率変数 は 回の試行で という数が出る回数を示す。 は と をパラメータとする多項分布に従う。
確率質量関数 多項分布の確率質量関数は次の通りである。
ここで、 は負でない整数である。
属性 期待値は次の通り。
共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。
対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。
ここで、 である。
共分散は全体として負となる。なぜなら、 が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。
これは、 の非負値定符号行列であり、行列の階数は である。
対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。
この表現では標本サイズ が出現しない点に注意されたい。
個の要素それぞれは と （ 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。
多項分布のサポートは集合 である。その要素数は である（重複組合せ）。
関連する分布 の多項分布を二項分布と呼ぶ。 ベイズ統計での多項の共役事前分布をディリクレ分布と呼ぶ。
関連項目 多項定理 壺問題
外部リンク
Discrete Probability Distribution - Multinomial Distribution