初等幾何学における円の弦（げん、）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。
円の弦
円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある: 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。 弦 および を延長して得られる割線が点 で交わるならば、それらの長さは を満足する（方冪の定理）。
楕円の弦 楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある。
弦をもとにした三角法 三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂したで、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進2桁まで正確であった）。
弦函数 は幾何学的には（図のように）中心角 の見込む弦の長さが （ は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 は、中心角 によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 の範囲に入るものと考えている。この弦函数 をより現代的な正弦函数 と関連付けることができる。それには、一点 ともう一つの点 を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると を得る。最後の等号は半角公式による。
現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:
恒等式 正弦版 弦版 三平方の定理 半角公式 辺心距離 中心角 ただし、半径 （直径 ）の円の中心角 が見込む弦の長さを とする。
弦函数 の逆函数 もまた存在して、逆正弦函数とは の関係にある。
脚注
注釈
出典
関連文献
関連項目
弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分) : 弦に打った目盛りで角度を測る尺
: 凸閉曲線内を回転する弦に関する : 一つの円内の弦の集合に対する : 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant） 正矢: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など. : 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線
外部リンク
History of Trigonometry Outline Trigonometric functions, focusing on history Chord (of a circle) With interactive animation