オイラーの分割恒等式

数論、組合せ論におけるオイラーの分割恒等式（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数（正の整数）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「奇数の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。

分割の例例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法 8 = 1+2+5 8 = 1+3+4 8 = 1+7 8 = 2+6 8 = 3+5 8 = 8 と奇数の自然数に分割する方法 8 = 1+1+1+1+1+1+1+1 8 = 1+1+1+1+1+3 8 = 1+1+1+5 8 = 1+1+3+3 8 = 1+7 8 = 3+5 の個数は等しく 6 である。

自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q(n) で表すと、 Q(1) = 1, Q(2) = 1, Q(3) = 2, Q(4) = 2, Q(5) = 3, Q(6) = 4, Q(7) = 5, Q(8) = 6, Q(9) = 8, Q(10) = 10, … （）などと続く。

母関数による表現オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を Pd(n) とすると

である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を Po(n) とすると

である。従って、オイラーの分割恒等式は

と書き表される。

証明母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。

初等的な説明例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると

このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。

注

参考文献

- 注記：原著第2版の翻訳。

- 注記：原著第5版の翻訳。

オイラーの分割恒等式

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