総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義 結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a, a, …, a の総乗を
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x) 」とすることができる。この列の総乗を
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1 を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1 であるとする。（空積も参照）
積が非結合的な場合 積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a × a × … × a という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
このとき、 と書くことにすると、
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積 総和と同様に、可算無限列 の総乗
を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
定義 実数や複素数からなる可算列 の無限乗積を定義する。無限乗積 が収束するとは2条件 ある番号 m から先では常に x ≠ 0 (n > m)つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。 部分積 p := x … x (n > m) がゼロでない値 P に n → ∞ の極限で収束する が成り立つことをいう神保道夫、複素関数入門、岩波書店。。無限乗積 が収束するとき、その値を
と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim x = 1 が成り立つ。
また数列 に対して無限乗積
が収束するとき、無限乗積 は絶対収束するという。無限乗積 が絶対収束するのは無限級数 が絶対収束するとき、かつそのときに限る。
例 三角関数の無限乗積展開
ウォリス積Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.htmlA proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
オイラー乗積
ガンマ関数時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
(はオイラーの定数である)。
qポッホハマー記号 Wolfram Mathworld: q-Pochhammer SymbolAndrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.。
qガンマ関数Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
行列を使ってqガンマ関数を定義することもできるSalem, A. (2012). On a -gamma and a -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.。
注
参考文献
Charles H. C. Little , Kee L. Teo and Bruce van Brunt: An Introduction to Infinite Products, Springer (2022).
関連項目 総和 因数定理 階乗 超階乗