200px|right 転置行列（てんちぎょうれつ、）とは、 行 列の行列 の行と列を入れ替えて、 の 成分を 成分とした 行 列の行列のことである斎藤2017 p.31。転置行列は などと示される。行列からその転置行列を得る操作のことを転置（てんち、）といい、「 を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を主対角線に関して折り返した行列になる。
定義 行列
の転置行列 は
で定義される。このとき は 行列であり、その 成分は の 成分に等しい。特に、列ベクトルの転置は行ベクトルであり、行ベクトルの転置は列ベクトルである。
性質 は行列、 はスカラーとし、成分は体（より一般には可換環）の元とする。各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。 転置の転置は元の行列を与える（対合性）： 和の転置は転置の和を与える（加法性）： 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える（斉次性）： 斉次性および加法性から線型性が成り立つ： 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える： 転置によって階数は変わらない： 任意の行列 に対し、 と はいずれも対称行列である 正方行列の性質 が正則ならば も正則であり、逆行列の転置は転置の逆行列を与える斎藤2017 p.32： 次正方行列 の跡を で表すと 次正方行列 の行列式を で表すと 斎藤2017 p.90 次正方行列 と は固有多項式が等しく、したがって固有値（重複度を含めて）も一致する 次実正方行列 , 次実ベクトル に対して、標準内積を で表すと、
転置行列により定義される行列 転置により定義される特別な行列として以下がある斎藤2017 p.74。 対称行列：転置が元の行列と等しい (） 反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（) 直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（) これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
線形写像との関係
行列 を、 次元ベクトル空間 から 次元ベクトル空間 への線形写像 の、 と の基底に関する表現行列とみなすとき、 の転置行列 は、 の転置写像 の、それぞれの双対基底に関する表現行列となる。転置写像 は の双対空間 から の双対空間 への線形写像 で、 に対して
によって定義される。この定義は と の自然なペアリングを と表記すれば、 に対して
という関係式によって書き直すこともできる。
脚注 出典
参考文献
関連項目 対称行列 反傾行列 随伴行列 反対称行列 直交行列 双対ベクトル空間
外部リンク