逆写像

数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像がをに写すならば、の逆写像はをに写し戻す。

函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数と呼ばれる。

定義

写像の定義域を集合 , 値域を集合とする。写像が可逆であるとは、を定義域、を値域とする写像で、条件

を満足するものが存在するときに言う。が可逆ならば写像は一意である（つまり、この性質を満たす写像はただ一つ存在して、一つよりも多くも少なくもない）。写像をの逆写像と呼び、で表す。

別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、その逆関係が再び写像となることである（このとき、逆関係が逆写像を与える）。

必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、上記の条件を適用するためには「値域の各元に対して、でに写されるような定義域の元がちょうど一つ存在する」必要がある。この性質を満たす写像は一対一あるいは単射と呼ばれる。およびがそれぞれおよび上の写像となるとき、これらはともに全単射となる。後述するように、全単射とならない単射の逆は部分写像として与えられる（すなわち、対応する値が定義されないが存在する）。

例函数はどのような種類の数の集合を（定義域として）考えるのかによって、可逆になることもあるしならないこともある。

定義域として実数直線全体を考えれば、各に対して対応する定義域の点が二種類（一方は正で他方は負）が考えられるから、出力値から入力値を特定することができず、これは可逆でない。

この函数の定義域を非負実数全体に制限すれば、得られる函数は単射となり、特に可逆である。

高等数学における逆写像

既に述べた定義は集合論および初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学では

と書いて「は集合の元を集合の元に写す写像である」ことを表す。出元であるをの始域といい、行先のをの終域という。の終域はの値域を部分集合として含み、また終域はの定義の一部とみなされる。

終域を気にする立場では、写像の逆写像は始域と終域を持つ必要がある。逆写像がの全域で定義されるためには、の全ての元が写像の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像または全射という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応または全単射といい、の各元にちょうど一つの元が対応するという性質を持つ。

逆写像と写像の合成可逆写像の始域が、値域がであるとき

が成り立つ。写像の合成の言葉で書き直せば

となる。ここでは集合上の恒等写像（つまり、引数の値を変えない写像）である。圏論ではこれを逆射の定義として用いる。

写像の合成を考えることはなる記法を用いることの理解を助ける。自分自身と繰り返し合成を取ることは反復合成と呼ばれ、写像を初期値に -回適用したものをで表す。たとえばなどである。さてが成り立つから、ととの合成はとなり、の適用はを一つ適用する操作を「取り消す」("undoing") 操作として働く。

記法についての注意記法は値の乗法逆元を意味する記法としばしば誤解されるが、後者はの逆写像とは無関係である。

数式は乗法逆元を表すものではなく、正弦函数の逆函数（実際には逆部分函数）をに適用したものを意味する。混乱を避けるため、逆三角函数には接頭辞 "arc-"（）を付けることがしばしば行われる。例えば正弦函数の逆函数は典型的には逆正弦函数 arcsine と呼ばれ、と書かれる。同様に双曲線函数の逆函数は接頭辞 "ar-"（）を付ける。

性質一意性与えられた写像に対して、その逆写像は存在すれば唯一つである。それはを関係と見たときの逆関係に一致しなければならない。

対称性写像とその逆写像との間には対称性が存在する。がからへの可逆写像ならば、その逆写像はからへの写像であり、かつの逆写像はもとの写像に一致する。記号で書けば、およびに対して

が成り立つ。これは関係の逆転が対合であることにより、逆写像と逆関係との間の関係から従う。

この主張は可逆写像が（第一の定義では）単射または（第二の定義では）全単射とならなければならないことから明らかに演繹される帰結である。この対合対称性は

という式として簡潔に表現できる。

合成写像の逆写像は

なる式で与えられる。ここでとが逆順になっていることに注意。「まずを施してからを施す」という操作を取り消すには、「まずを取り消してからを取り消す」ようにしなければならない。

たとえば、およびとすると、それらの合成は、まず -倍してからを加える函数

である。この過程を逆にするには、まずを引いて、そのあとで割る

としなければならない。これはに等しい。

自己逆性任意の集合に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり

が成り立つ。もっと一般に、函数がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数がに等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。

逆函数一変数の初等解析学では実数を実数に写す写像である実函数を主に考える。そのような函数は、しばしば

のような明示的な数式を通して定義される。実一変数実数値函数はそれが一対一である限り逆函数を持つ。

+ いくつかの標準的な実函数とその逆函数函数逆函数注意のときに限るは実数（特に制限無し）一般にかつ三角函数逆三角函数いろいろと制約があるランベルトのW関数

逆函数の式が存在するとき、その式を求める方法のひとつが、方程式をについて解くことで与えられる。例えば、が

なる式で与えられているとき、方程式をについて解けば、

となるから、求める逆函数が

なる式で与えられる。しかしいつでもこのような逆函数の求め方が通用するわけではない。例えばが

なる函数であれば、は一対一で、したがって逆函数を持つのだが、この逆函数を与える公式は無限項の和

となる（ケプラーの方程式#逆ケプラー方程式を参照）。

逆函数のグラフ

が可逆ならば函数

のグラフと方程式

のグラフは同一である。このことはとの役割が入れ替わっていることを除けば、方程式がのグラフを定義することと同じである。したがって、逆函数のグラフは、函数のグラフでとの位置を入れ替えることによって得られる。これは、これらのグラフが直線に関して線対称であるといっても同じことである。

逆函数の微分実一変数実数値の連続函数が一対一（したがって可逆）となるために必要十分な条件は、それが狭義単調となる（極値を持たない）ことである。たとえば、函数

は可逆である。これが単調増大であることはその導函数が常に正値であることからわかる。

実一変数実数値函数が可微分ならば、その逆函数もである限り可微分で、その導函数は逆函数定理により

で与えられる。これはとおくと

と表すことができる。これは連鎖律から導くことができる。

逆函数定理は多変数函数に対しても一般化することができる。特に、多変数可微分函数は、点におけるの函数行列が可逆である限り、点の近傍で可逆である。この場合、点におけるの函数行列はにおけるの函数行列の逆行列である。

一般化偏逆写像

写像が一対一でない場合にも、の偏逆写像もしくは逆部分写像を始域を制限することによって定義することができる。たとえば函数

はとなるから一対一ではない。しかし、に始域を制限すれば一対一になり、このとき

となる（定義域をに制限したときは、逆函数は負の平方根を与えるものになる）。あるいは、逆函数を多価函数

として考えるならば始域を制限する必要も無い。

このような多価逆函数をの全逆函数もしくは完全逆写像などと呼び、その（やのような）部分のことを枝もしくは分枝と呼ぶ場合もある。（例えば正の平方根のような）多価函数の最も重要な枝は主枝といい、逆函数のにおける値で主枝に属するものをの主値と呼ぶ。

実数直線上の連続函数に対して、極値の隣り合う対にそれぞれ、その全逆函数の一つの（連続な）枝が対応する。例えば、極大値と極小値をもつ三次函数の逆函数は、三つの分枝を持つ。

こういったことへの配慮は、特に三角函数の逆函数を定義する際には重要である。例えば、正弦函数は任意の実数に対して

を満たす（もっと一般に任煮の整数に対してを満たす）から一対一ではない。しかし、区間上で正弦函数は一対一であり、対応する偏逆函数は逆正弦函数 arcsine と呼ばれる。これは（全）逆正弦函数の主枝であると考えられ、そたがってこの逆函数の主値は常にとの間に値を持つ。 {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ 逆三角函数の主枝

! 函数 ! 通常用いられる主値の範囲

左逆写像写像に対し、の左逆写像あるいは引込みとは、

を満たす写像のことをいう。つまり、の各元に対しては

を満たす。したがってはの値域上ではの逆写像と一致しなければならないが、値域に入らないの元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像が左逆写像をもつならばは単射であることが次のように証明できる。写像に対し、をの左逆写像とする。がを満たすとすると、からなので、したがって、は単射である。

逆に写像が（空写像ではない）単射ならば、適当なを選んで、次のように左逆写像を構成することができる。

このように古典数学では任意の単射は左逆写像を持つことが必要となるが、。

右逆写像写像に対し、の右逆写像あるいは切断もしくは断面とは

を満たす写像のことをいう。つまりはの各元に対して

なる条件を満足する。したがってはによってへ写されるようなならばどのようなものでもよい。写像が右逆写像をもつ必要十分な条件は、が全射となることである（ただし一般には、選択公理が必要となるので、右逆写像を構成的に得ることはできない）。

（証明）写像に対し、をの右逆写像とする。このとき、任意のに対してとすれば、となるのでは全射。

逆に写像を全射とする。すると、任意のにおいての原像は空ではない。したがって集合族（これはによるの類別でもある）に対して選択関数が定義できる。このとき、はからへの写像となっており、となることからはの右逆写像である。∎

左逆写像にも右逆写像にもなっている逆写像は一意でなければならない。同様に、がの左逆写像のとき、はの右逆写像である場合もあるし、そうでない場合もある。またがの右逆写像であるときも、は必ずしも左逆写像でなくてよい。例えばがの各元に対してその平方を与える函数とし、を各に対して正の平方根を与える函数とすると、のどの元に対してもが成り立つ。つまり、はの右逆函数である。しかし、例えばであるから、はの左逆函数にはなっていない。

原像を（必ずしも可逆でない）任意の写像とするとき、の元の原像または逆像が、によってに写されるの元全体の成す集合

として定まる。の原像は、全逆写像によるの像（完全逆像）として考えることができる。

同様に、を終域の任意の部分集合とすると、S のによる原像が、によってへ写されるの元全体からなる集合

として定まる。たとえば、函数を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば

となる。一つの元の原像（同じことだが、一元集合の原像）は、のファイバーと呼ばれることもある。が実数全体からなる集合のとき、は等位集合として言及されることも多い。

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