メモリスタ (またはメモリスター。, ; メモリ抵抗器 のかばん語) は、電荷とに関係する非線形電気部品である。通過した電荷を記憶し、それに伴って抵抗が変化する受動素子である。過去に流れた電流を記憶する抵抗器であることからメモリスタ () と名づけられた。
1971年にによって言及と命名がなされ、これにより、抵抗器、コンデンサ、インダクタも含む基本的な電気部品の理論上のカルテットが完成した。抵抗器、キャパシタ、インダクタに次ぐ新たな受動素子であるので、“第4の回路素子” と呼ばれる。
とは後にこの概念をメモリスティブ体系に一般化した。理想的なメモリスタ部品の主要な特性を複数の在来型の部品からなる回路で模倣するようなシステムも、一般にメモリスタと呼ばれる。 このようなメモリスタ・システム技術はいくつか開発されており、特にReRAMがその1例である。
電子デバイスのメモリスティブ特性の特定は論争を呼んでいる。実験的には、理想的なメモリスタはまだ実証されていない。
基本的な電気部品として 蔡は1971年の論文で、非線形抵抗器 (電圧対電流)、非線形コンデンサ (電圧対電荷)、および非線形インダクタ (磁束鎖交対電流) の間に理論上の対称性を特定した。この対称性から、彼は磁束と電荷を結び付ける第四の基礎的非線形回路要素の特性を推測し、これをメモリスタと呼んだ。線形 (または非線形) 抵抗器とは対照的に、メモリスタは過去の電圧または電流の記憶を含め、電流と電圧の間にダイナミックな関係を持っている。他の科学者は、ののようなダイナミックメモリ抵抗器を提案していたが、蔡は数理的普遍性を導入した。
由来と特性 メモリスタは、通過した電荷と端子間の磁束鎖交が非線形関数関係であるような素子と定義される。すなわち、と表わされる。磁束鎖交は、インダクタの回路特性から一般化される。ここでは磁場を表すものではなく、その物理的意味については以下で説明する。 記号はすなわち、電圧の時間積分と見なすことができる。
との関係において、一方の他方に対する導関数は、一方または他方の値に依存する。そしてそれゆえ、それぞれの導関数は電荷を伴なう磁束の変化の電荷依存率を述べるメモリスタンス関数によって特徴づけられる。磁束を電圧の時間積分として、電荷を電流の時間積分として代入すると、より便利な形式が得られる:メモリスタを抵抗、キャパシタ、インダクタに関連付けるには、デバイスを特徴付ける項を分離し、常微分方程式として記述すると便利。 素子 (単位)常微分方程式抵抗器(R)抵抗 (V / A, or Ω)キャパシタ(C)静電容量 (C / V, or ファラド)インダクタ(L)インダクタンス (Wb / A, or ヘンリー)メモリスタ(M)メモリスタンス (Wb / C, or Ω) 上記の表は、、、およびの微分の有意義な比率を全てカバーする。はの導関数であり、またはの積分であるため、をに、またはをに関連付けることができるデバイスはない。このことから、メモリスタは電荷に依存する抵抗であると推測できる。もしが定数の場合、オームの法則が得られる。ただし、が自明でない場合、とは時間とともに変化する可能性があるため、方程式は同等ではない。時間の関数として電圧を解くと、が得られる。この方程式はが電荷によって変化しない限り、メモリスタが電流と電圧の間で線形関係を定義することを示している。非ゼロ電流は時間変化する電荷を意味する。交流電流は(しかしながら)、の最大変化によってに変化を引き起こさない限り正味の電荷の移動を伴わずに測定可能な電圧を誘導することにより回路動作の線形依存性を明らかにすることができる。
さらに、電流が印加されない場合、メモリスタは静的である。 の場合、であり、は定数であることがわかる。これはメモリー効果の本質である。
同様に、をメモダクタンスとして定義できる。電力消費特性、これは抵抗器の式を思い出させる。がほとんど変化しない限り(交流下など)、メモリスタは定抵抗器のように見える。もしもが敏速に増加すると(しかしながら)電流と電力消費は急速に停止する。
は、のすべての値に対して正になるように物理的に制限される (デバイスが受動的であり、あるで超伝導状態にならないと仮定する)。 負の値は、交流で動作するときにエネルギーを永続的に供給することを意味する。
モデル化と検証 メモリスタ機能の性質を理解するためには、の概念から始めて、基本的な回路理論の概念についてある程度の知識があると役に立つ。
エンジニアや科学者が物理システムを元の形で分析することはめったにない。代わりに、彼らはシステムの挙動を近似するモデルを構築する。モデルの挙動を解析することで、彼らは実際のシステムの挙動を予測することを望んでいる。モデルを構築する主な理由は、通常、物理システムが複雑すぎて実際の分析に対応できないからである。
20世紀には、研究は研究者がメモリスティブ特性を認識していないデバイスで行われた。このため、そのようなデバイスはメモリスタとして認識されるべきであるという提案が提起された。PershinとDi Ventraは、理想的なメモリスタが実際に存在するのか、それとも純粋に数学的な概念であるのかについての長年の論争の解決に役立つテストを提案した。
2008年以降の研究の大部分はこの分野に集中しているため、この記事の残りの部分では主にReRAMデバイスに関連するメモリスタについて説明する。
超電導メモリスタ部品 Paul Penfield博士は、1974年のMIT技術報告書の中で、ジョセフソン接合に関連してメモリスタについて言及している。これは回路デバイスの文脈における「メモリスタ」という単語の初期の使用例であった。
ジョセフソン接合を通る電流の項の1つは次の式のように表され: には物理的な超電導材料に基づく定数が、には接合部両端間の電圧が、には接合部を流れる電流が当て嵌まる。
20世紀後半を通じて、このジョセフソン接合における位相依存コンダクタンスに関する研究が行われた。この位相依存コンダクタンスを推論するためのより包括的なアプローチが、2014年にPeottaとDiVentraの独創的な論文で登場した。
メモリスタ回路 理想的なメモリスタを研究することは現実的には難しいため、メモリスタを使用してモデル化できるその他の電気デバイスについて話すことにする。メモリスティブ・デバイス (システム) の数学的記述については、#理論を参照されたし。
放電管は、伝導電子の数の関数である抵抗(値)で、メモリスティブ・デバイスとしてモデル化できる。は放電管の両端の電圧、はそこを流れる電流、そしては伝導電子の数である。単純なメモリスタンス関数はである。 そしてはチューブの寸法と充填ガスに依存するパラメータである。メモリスティブな挙動の実験的な特定は、平面における「ピンチ化ヒステリシス・ループ」である。一般的な放電管のこのような特性を示す実験については、「物理メモリスタのリサジュー図(A physical memristor Lissajous figure)」(YouTube)を参照されたし。動画では物理メモリスタのピンチ化ヒステリシス特性における偏差をどのように理解するかも図解している。
サーミスタはメモリスティブ・デバイスとしてモデル化できる。は材料定数であり、はサーミスタの絶対体温であり、は周囲温度 (温度単位は両方ともケルビン)であり、はにおける低温(側)抵抗(値)を示し、は熱容量であり、そしてはサーミスタの損失定数(熱放散定数)である。
ほとんど研究されていない基礎的な現象は、pn接合におけるメモリスティブな挙動である。メモリスタはダイオードベースの電荷蓄積効果を模倣する上で重要な役割を果たし、また(順方向過渡時に非常に重要な)導電率変調現象にも関与する。
批評 2008年に、のチームは二酸化チタンの薄膜の分析に基き、その結果ReRAMデバイスの動作をメモリスタの概念に結び付けることができる、蔡のメモリスタについての実験的証拠を発見した。HP研によると、メモリスタは次のように動作する: メモリスタのは一定ではなく以前デバイスに流れた電流に依存し、すなわち、この現在の抵抗は以前にどれだけの電荷がそこを通って、どの方向に流れたかによって決まり; デバイスはその履歴いわゆる不揮発性特性を記憶する。電力供給がオフになるとき、メモリスタは再度電源が入るまで自身の直近の抵抗(値)を記憶する。
HP研の結果は科学雑誌Nature に掲載された。この主張を受けて、蔡少棠は「メモリスタの定義は抵抗スイッチング効果に基く2端子不揮発性メモリデバイスのあらゆる形式をカバーするように一般化できる」と主張している。蔡はまた「メモリスタは既知の中で最も古いであり、その効果は抵抗器、コンデンサ、そしてインダクタよりも古い」とも主張した。本物のメモリスタが物理的な現実において実際に存在し得るのかに関しては(しかしながら)いくつかの深刻な疑問がある。それに加えて、いくつかの実験的証拠では抵抗スイッチングメモリにおける非受動的効果が観察できるため蔡の一般論と矛盾する。そのような理想的または一般的なメモリスタが実際に存在するのか、それとも純粋に数学的な概念であるのかを分析するため、PershinとDi Ventraによって簡単なテストが提案された。今までのところ、テストを合格できる実験用の抵抗スイッチングデバイス (ReRAM) はないようである。
これらのデバイスは、ナノエレクトロニクス メモリデバイス、コンピュータロジック、そしてニューロモルフィック/ニューロメモリスティブ・コンピュータアーキテクチャでの応用を企図されている。2013年に、ヒューレット・パッカードのマーティン・フィンクCTOは、「メモリスタ・メモリは早ければ2018年にも市販される可能性がある」と示唆した。2012年3月に、とミシガン大学の研究者チームは、CMOSチップ上に構築された最初の機能するメモリスタ・アレイを発表した。1971年の当初の定義によれば、メモリスタは4番目の基本回路要素であり、電荷と磁束鎖交の間に非線形関係を形成する。2011年に蔡は、より広い、抵抗スイッチングに基づく全ての2端子不揮発性メモリデバイスを含む定義を主張した。WilliamsはMRAM、相変化メモリそしてReRAMはメモリスタ技術であると主張した。一部の研究者は、血液や皮膚などの生物学的構造が定義に適合すると主張した。他の人はが開発中のメモリデバイスや他の形式のReRAMはメモリスタではなく、むしろ可変抵抗システムのより広範なクラスの一部であり、そしてメモリスタの広義の定義はHPのメモリスタ特許を有利にする科学的に不当なであると主張した。
2011年に、MeuffelsとSchroederは初期のメモリスタ論文の1つにイオン伝導に関する誤った仮定が含まれていることを指摘した。2012年に、MeuffelsとSoniは、メモリスタの実現におけるいくつかの基本的な課題と難問について議論した。彼らはNature の論文「行方不明のメモリスタが見つかった(The missing memristor found)」で提示された電気化学モデリングにおいて、電圧または電流ストレス下での「金属TiO2−x金属」構造の挙動に対する効果の影響が考慮されていなかったため、不備を指摘した。この批判は2013年にValovら(et al.)によって参照された。
ある種の思考実験において、MeuffelsとSoniは、さらに次のような深刻な矛盾を明らかにした: いわゆる不揮発性特性を持つ電流制御メモリスタが物理的現実に存在する場合、その挙動はシステムの「情報」状態を変更するために必要な最小エネルギー量に制限を設けるランダウアーの原理に違反することになる。この批判は最終的にとPershinによって採用された。
この文脈の中において、MeuffelsとSoniは、基本的な熱力学的原理を次のように指摘した: 不揮発性情報ストレージにはシステムの異なる内部メモリ状態を相互に分離する自由エネルギー障壁の存在が必要であり; さもないと、一方が「中性の」状況に直面することになり、そしてシステムがちょうど熱ゆらぎの影響下にある場合、ある記憶状態から別の記憶状態へ勝手気ままに変動してしまうだろう。熱ゆらぎに対して保護されていない場合、内部メモリ状態は、状態の劣化を引き起こすいくつかの拡散ダイナミクスを示す。自由エネルギー障壁は(したがって)ビット操作の低ビットエラー確率を保証するのに十分高くなければならない。その結果として、とあるメモリデバイスにおけるビット値の意図的な変更について 必要なビットエラー確率に応じ エネルギー必要量には常に下限が存在する。
メモリスティブ体系の一般概念において、定義方程式は次のとおり (#理論を参照): は入力信号であり、そしては出力信号が当て嵌まる。ベクトルはデバイスの内部メモリ状態の違いを説明する個の状態変数のセットを表す。は時間を伴う状態ベクトルの時間依存変化率である。
一方が単なる曲線当てはめを超え、そして不揮発性メモリ要素(例えば抵抗変化型メモリデバイス)の実際の物理モデリングを目指しているとき、前述の物理的な相関関係に常に注意を払う必要がある。提案されたモデルとその結果として得られる状態方程式の適切性をチェックするために、入力信号は、避けられない熱ゆらぎの存在を考慮する、確率項(※原文: stochastic term) (※最小二乗法の誤差項(error term)εに字面が似ているがξは違う(大分配関数))と重畳しうる。動的状態方程式の一般形は最終的に次のようになる:には、例えば、ホワイトガウス電流または電圧ノイズが当て嵌まる。ノイズに対するシステムの時間依存応答の解析的または数値的解析に基づいて、モデリング手法の物理的妥当性について決定を下すこと(例えば、システムは電源オフモードでもメモリの状態を保持できるかどうか?)が可能になる。
純正の電流制御メモリスタに関して、このような分析はDi VentraとPershinによって行われた。提案された動的状態方程式には、このようなメモリスタが避けられない熱ゆらぎに対処できるようにする物理的メカニズムが提供されていないため、電流制御メモリスタは、電流ノイズの影響を受けると、時間の経過とともにその状態が不規則に変化する。Di VentraとPershinはその結果、抵抗 (メモリ) 状態が電流または電圧の履歴のみに依存するメモリスタは、避けられないジョンソン=ナイキスト・ノイズから自らのメモリ状態を保護できず、永続的な情報損失(いわゆる「確率的大惨事」)に悩まされると結論付けた。電流制御メモリスタは、したがって、物理的現実に固体デバイスとして存在することはできない。
前述の熱力学的原理は、さらに2端子不揮発性メモリデバイス (例えば「抵抗スイッチング」メモリデバイス (ReRAM))の動作をメモリスタの概念と関連付けることはできないことを暗示し、つまり、そのようなデバイスは、それ自体では電流または電圧の履歴を記憶できない。異なる内部メモリまたは抵抗状態の間の遷移は確率的な性質を持っている。状態{i}から状態{j}への遷移ついての確率は、両方の状態の間の自由エネルギー障壁の高さに依存する。遷移確率は、適切にメモリデバイスを駆動すること(すなわち、(たとえば)外部から印加されるバイアスを用いて、{i} → {j}の遷移間の自由エネルギー障壁を「下げる」こと)による影響を受ける可能性がしたがってある。
「抵抗スイッチング」イベントは、外部バイアスを特定の閾値を超える値に設定することによって簡単に強制できる。これは自明なケースであり、すなわち、{i} → {j}の遷移間の自由エネルギー障壁はゼロに減らされる。一方に閾値を下回るバイアスを印加する場合、デバイスが時間の経過とともに（ランダムな熱ゆらぎによって引き起こされる）切り替わる確率は依然として有限であるが、しかし 確率過程を扱っているため スイッチング イベントがいつ発生するかを予測することは不可能である。これが、観測された抵抗スイッチング (ReRAM) プロセスすべての確率的性質の基本的な理由である。自由エネルギー障壁が十分に高くない場合、メモリデバイスは何もすることなくいっそ切り替わることも可能である。
2端子不揮発性メモリデバイスが明確な抵抗状態{j}にあることが判明した場合、(したがって) 現在のその状態と、前述のその電圧履歴との間に物理的な1対1の関係は存在しない。個々の不揮発性メモリデバイスのスイッチング挙動は、その結果、メモリスタ/メモリスティブ体系に対して提案されている数学的枠組み内では説明できない。
熱力学へのさらなる好奇心はメモリスタ/メモリスティブ デバイスは抵抗器のようにエネルギッシュに振る舞うはずであるという定義から生じる。このような機器に入力される瞬時電力は、として周囲に完全に放散され、そのため、ある抵抗状態から別の抵抗状態に移行した後、システムには余分なエネルギーが残らない。したがって、(たとえこれらの異なる状態が異なるデバイスの抵抗(それ自体はデバイスの材質の物理的変化によって引き起こされるに違いない)を生じさせたとしても)状態(U (V, T, xi))におけるメモリスタデバイスのは状態(U (V, T, xj))における場合と同じになる。
他の研究者は、線形の仮定に基づくメモリスタモデルは、セット時間（高抵抗から低抵抗へのスイッチング）とリセット時間（低抵抗から高抵抗へのスイッチング）の間の非対称性を考慮しておらず、且つ、実験データと一致するイオン移動度値が提供されてないことを指摘した。この欠陥を補うために非線形イオンドリフトモデルが提案されている。
ReRAMの研究者による2014年の論文は、Strukov (HP) の初期/基本メモリスタ モデリング方程式は実際のデバイスの物理(学)をよく反映していないと結論付けた一方、PickettのモデルやMenzelのECMモデル (Menzelはその論文の共著者) などの後続の (物理ベースの) モデルには十分な予測可能性があるが、しかし計算量的には法外に高い。2014年現在、これらの課題のバランスをとるモデルの探索が続けられている; この論文ではChang氏とYakopcic氏のモデルが潜在的に優れた妥協案であると指摘している。
(研究機関ガートナーの電気工学アナリスト) は「HPが自社のデバイスをメモリスタと呼んでいたのはいい加減であった一方、批評家たちは、それはメモリスタではないと学者ぶって言っていた。」とコメントした。
実験的試験 蔡は、デバイスがメモリスタとして適切に分類されるかどうかを判断するための実験的試験を提案した:
電圧電流平面におけるリサージュ曲線は初期条件とは関係なく、双極性の周期的な電圧または電流によって駆動されると、ピンチ化ヒステリシス・ループになる。 ピンチ化ヒステリシス・ループの各突出部の面積は、強制信号の周波数が増加するにつれて縮小する。 周波数が無限大に近づくにつれて、ヒステリシス・ループは原点を通る直線に縮退し、その傾きは強制信号の振幅と形状に依存する。
蔡によれば、ReRAM、MRAM、そして相変化メモリを含む、全ての抵抗スイッチング・メモリはこれらの基準を満たしており、メモリスタである。しかしながら、初期条件の範囲または周波数の範囲にわたるリサージュ曲線についてのデータの欠如が、この主張の評価を複雑にする。
実験的証拠は、酸化還元ベースの抵抗メモリ (ReRAM) には蔡のメモリスタ・モデルとは相反する効果が含まれることを示している。これはメモリスタ理論を正確なReRAMモデリングを可能にするために拡張または修正する必要があることを暗示している。
理論 2008年に、出身の研究者は、二酸化チタンの薄膜に基づくメモリスタンス関数についてのモデルを発表した。 ≪ について、メモリスタンス関数は以下であると同定された: ここでは高抵抗状態を表し、は低抵抗状態を表し、は薄膜内のドーパントの移動度を表し、そしては膜厚を表す。HP研のグループは「非線形イオンドリフトおよび境界効果に帰因する実験の測定(結果)とメモリスタモデル間の差異を埋め合わせるためには『窓関数』が必要である」と指摘した。
スイッチとしての動作 一部のメモリスタについて、印加電流または電圧は抵抗に大きな変化を引き起こす。このようなデバイスは抵抗に望ましい変化を達成するために費やさなければならない時間とエネルギーを調べることによってスイッチとして特徴づけられる場合がある。これは印加電圧が一定のままであると仮定する。単一スイッチング・イベント中のエネルギー放散について解くと、メモリスタにとってからまでの時間内にからに切り替わるには、電荷がだけ変化しなければならないことが明らかになる。を代入し、定数にを代入すると、最終的な式が得られる。この電力特性はコンデンサ・ベースの金属酸化物半導体トランジスタの電力特性とは根本的に異なる。トランジスタとは異なり、電荷の観点からメモリスタの最終状態はバイアス電圧に依存しない。
Williamsによって説明されたメモリスタの種類は、その抵抗範囲全体にわたるスイッチング後、理想的ではなくなり、「ハードスイッチング・レジーム」とも呼ばれる、ヒステリシスを形成する。もう一つの種類のスイッチは、周期的なを持ち、そのため一定のバイアスの下では、各オフ-オン・イベントの後にオン-オフ・イベントが続くことになるだろう。このようなデバイスは、あらゆる条件下でメモリスタとして機能するが、実用性は低くなる。
メモリスティブ体系 次メモリスティブ体系のより一般的な概念では、定義方程式は次のとおりであり、
ここでは入力信号であり、は出力信号であり、ベクトルはデバイスを説明する個の状態変数のセットを表し、そしてとは連続関数である。電流制御メモリスティブ体系の場合、信号は電流信号を表し、信号は電圧信号を表す。電圧制御メモリスティブ体系の場合、信号は電圧信号を表し、信号は電流信号を表す。
純粋なメモリスタはこれらの方程式の特殊なケースであり、つまりが電荷のみに依存()するとき、電荷は時間微分を介して電流に関係するためである。したがって、純粋なメモリスタの場合、 (すなわち、状態の変化率) は電流と等しいか、それに比例しなければならない。
ピンチ化ヒステリシス
メモリスタとメモリスティブ体系の結果生じる特性のうち1つが、ピンチ化ヒステリシス効果の存在である。電流制御メモリスティブ体系の場合、入力は電流であり、出力は電圧であり、そして曲線の傾きは電気抵抗を表す。ピンチ化ヒステリシス曲線の傾きにおける変化は(ReRAMおよびその他の形式の2端子抵抗メモリの現象の中心である)異なる抵抗状態間のスイッチングを示す。高周波においては、メモリスティブ理論はピンチ化ヒステリシス効果が退化してしまうことを予測し、線形抵抗器を表す直線をもたらす。非交差ピンチ化ヒステリシス曲線の一部の種類 (タイプ-IIと示される) は、メモリスタによって説明することはできないことが証明された。
メモリスティブ・ネットワークと回路相互作用の数学モデル メモリスティブ・ネットワークの概念は蔡少棠によって1965年の彼の論文「メモリスティブ・デバイスと体系(Memristive Devices and Systems)」で初めて発表された。蔡は人間の脳の振舞いをシミュレートできるかもしれない人工ニューラル・ネットワークを構築する手段としてメモリスティブ・デバイスの利用を提案した。事実、回路におけるメモリスティブ・デバイスはキルヒホッフの法則による複雑な相互作用を持つ。メモリスティブ・ネットワークはメモリスタンスの特性を示す電子部品である、メモリスティブ・デバイスに基づく、人工ニューラル・ネットワークの一種である。メモリスティブ・ネットワークにおいて、メモリスティブ・デバイスは人間の脳のニューロンとシナプスの振舞いをシミュレートするために使用される。ネットワークは一連の重みを介して他の各層に接続される、メモリスティブ・デバイスの層から構成される。これらの重みはトレーニング・プロセス中に調整され、ネットワークが新しい入力データに対して学習と適応することを可能にする。メモリスティブ・ネットワークの利点の1つは、比較的シンプルで安価なハードウェアを使用して実装でき、これらを低コストの人工知能システムを開発するための魅力的な選択肢にする。また、より少ない電力で情報の格納と処理をできるため、従来の人工ニューラル・ネットワークよりもエネルギー効率が高い可能性もある。しかしながら、メモリスティブ・ネットワークの分野は、まだ開発の初期段階にあり、その能力と限界を完全に理解するには、さらなる研究が必要とされている。電圧発生器を直列に接続したメモリスティブ・デバイスのみの最も単純なモデルの場合、各デバイスのネットワークの内部メモリの進化を説明する、厳密な閉じた形式の方程式 (、CTDV)が存在する。2つの抵抗値間のスイッチの(しかし現実的ではない)単純なメモリスタ・モデルの場合、(を伴う)Williams-Strukovモデルによって与えられる、次のような形式を取る一連の非線形結合微分方程式が存在する:
ここで、は対角線上に要素を持つ対角行列であり、はメモリスタの物理パラメータに基づく。ベクトルは、メモリスタに直列に接続された電圧発生器のベクトルである。回路トポロジーは、グラフの回転行列(cycle matrix)という観点から定義される、射影作用素(projector operator) にのみ入る。この方程式はキルヒホッフの法則による相互作用の簡潔な数学的記述を提供する。興味深いことに、この方程式はリアプノフ関数や古典的なトンネル現象の存在など、ホップフィールド・ネットワークと共通する多くの特性を共有する。メモリスティブ・ネットワークの文脈において、CTD(V)方程式は異なる動作条件下におけるメモリスティブ・デバイスの振舞いを予測するため、若しくは特定の用途向けメモリスティブ回路の設計と最適化をするために使用される。
拡張された(理論)体系 一部の研究者の中にはReRAMの振る舞いの説明におけるHPのメモリスタ・モデルの科学的な正当性に疑問を提起し、そして拡張メモリスティブ・モデルを提案した。
一例では、級数展開時に入力信号の高次導関数を組み込んだ動的体系を含むことによってメモリスティブ・システム・フレームワークを拡張するよう試みており、
ここでは正の整数であり、は入力信号であり、は出力信号であり、 ベクトルはデバイスを説明する個の状態変数のセットを表し、そしてとは連続関数である。この方程式はメモリスティブ・システムとして同じゼロ交差ヒステリシス曲線を生成するが、しかしメモリスティブ・システムによって予測されるそれよりも異なる周波数応答を伴う。
別の例は、オフセット値を含む、予測されるゼロ交差ピンチ化ヒステリシス効果を破る観測されたナノバッテリー効果について勘定に入れることを提案している。
ヒステリック(ヒステリシス的な)電流-電圧メモリスタの実装 ヒステリック電流-電圧曲線またはヒステリック電流-電圧曲線とヒステリック磁束-電荷曲線の両方を伴うメモリスタの実装が存在する[arXiv:2403.20051]。ヒステリック電流-電圧曲線を伴うメモリスタは電流と電圧の履歴に依存する抵抗を利用し、そしてそれらの簡素な構造、高エネルギー効率、そして高インテグレーション(en:integration, 完成? or 集積?)ゆえ、メモリー技術の未来にとっては良い前兆である[DOI: 10.1002/aisy.202200053]。 二酸化チタンメモリスタ 2007年にヒューレット・パッカードのによって実験的な固体版が報告された時、メモリスタへの関心が再燃した