複素共役

thumb|複素数の複素共役を取る操作は、複素数平面では実軸対称変換に当たる。数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数の共役複素数を記号でで表す複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク () なども使われるが、行列の随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。

複素数（は実数、は虚数単位）の共役複素数は

である。極形式表示した複素数（, は実数）の共役複素数は、偏角を反数にした複素数である：

複素数の共役をとる複素関数は環同型である。すなわち次が成り立つ。

複素共役は実数を変えない：が実数 ⇔ 逆に、上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

複素共役変換は、の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を上の線型変換と見ると、その表現行列は

代数方程式について、「実係数多項式が虚数根をもつならば、の共役複素数もの虚数根である」すなわち実係数多項式について、が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

定義と特徴づけ複素数（は実数、は虚数単位）の複素共役とは、

を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換に対して、次が成り立つ。は全単射

さらに、複素共役は実数を保つ：が実数逆に、上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られるの読書メモ。

（証明）は環準同型写像で、実数に対してを満たすとする。

ゆえに、複素数（は実数）に対して、

のとき、は恒等写像。のとき、は複素共役変換である。（証明終）

性質計算法則を複素数とする。以下の性質が成り立つ。が実数 ⇔ が純虚数 ⇔

（は整数）上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。（対合）

逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素数の種々の値複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

代数方程式実係数多項式が虚数根をもつならば、の共役複素数もの根である。すなわち、実数係数多項式について

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素解析複素共役変換は、の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）が成り立つ。

複素数空間複素線形空間の標準内積は次の式で定義される：に対して、

脚注

注釈

出典

参考文献

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