拡大実数

数学における拡大実数（かくだいじっすう、）あるいはより精確にアフィン拡大実数（）は、通常の実数に正の無限大と負の無限大の2つを加えた体系を言う。

新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合、通常の実数は有限実数と呼んで区別するブルバキ, p.115。

拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 } は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、）と呼ばれ、やと書かれる。

文脈から明らかな場合には、正の無限大の記号はしばしば単にと書かれる。

意義極限函数において、引数や函数値がある意味で「非常に大きく」なるときのふるまいを記述したい場面というのはよくある。例えば函数

を考えると、グラフは g(x) = 0 を水平漸近線に持つ。幾何学的に、-軸を右へどんどん辿って行けば、1/x2 の値は 0 へ近づく。この極限的な振る舞いというのは、が何らかの実数へ近づくときの函数の極限と、が近づく実数がないことを除けば同じである。

仮に、実数の集合に二つの元とを添加するとすれば、「無限遠における極限」をにおけると同様の位相的性質を以って定式化することができる。

事を完全に厳密にするには、の有理コーシー列による定義において、さらに任意のに対して十分大きな番号の項でを超えるものが取れるような有理コーシー列全体の成す集合としてを、同様の仕方でを、それぞれ定義することにすればよい。

測度論および積分測度論において、測度無限大の集合や値が無限大になる積分の存在を許すことが有効であることがよくある。

このような測度は微分積分学でも自然に表れてくる。例えば、における測度として、各区間の測度が区間の通常の長さと一致するようなものを考えると、全空間の測度というのはどんな有限実数よりも大きいものでなければならない。あるいはまた、

のような無限積分を考えるとき、値は「無限大」になる。他にも、

のような函数列の極限を考えることも有用であることは多く、函数値が無限大となることを許容しない場合には単調収束定理や優収束定理のような本質的な結果が意味を成さない。

順序構造および位相的性質任意の（有限）実数に対してと置くことにより、実数直線における順序の拡張として、補完数直線は全順序集合になる。この順序に関しては「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。

この順序から導かれる上のでは、集合が正の無限大の近傍となる必要十分条件はが適当な実数に対する集合を含むことであり、負の無限大についても同様のことが言える。補完数直線は、単位閉区間に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。

この位相に関して、実変数がやへ近づく極限や、函数の値がやへ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。

算術演算実数全体における四則演算は、以下の規約により部分的にまで拡張することができる。

ここで、式 "" は "" の意味でもあり "" の意味でもある。また、式 "" は "" の意味でもあり "" の意味でもある。

しかし、所謂不定形の式 , , などはやはりとするのが普通である。これらの規約は函数の無限大に関する極限についての法則をモデル化するものになっているが、確率論および測度論ではさらに、"" を規約に追加することが多い（確定したを掛けたの形の式の極限としての意味を持つことが多いため伊藤『ルベーグ積分入門』p.12）。

また、数式はともとも定めることができない。これは連続函数がを満たすとすると、これは逆数函数が集合の任意の近傍に殆ど含まれる (eventually contained in) ことは意味するけれども、必ずしもがかの何れか一方に収斂することを意味しないことによる（それでも、その絶対値はへ近づく）。何となれば ) を考えるとよい。

代数的性質今までの定義に従えば、拡張実数の全体は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する：およびは等しいかさもなくば両者とも無意味。は等しいかさもなくば両者とも無意味。およびは等しいかさもなくば両者とも無意味。は等しいかさもなくは両者とも無意味。およびは両者が定義される限り等しい。でありおよびがともに定義されるならば a + c ≤ b + c が成り立つ。かつでありおよびがともに定義されるならばが成り立つ。

一般に、現れる式がすべてきちんと定義される限りにおいて、における四則演算の法則は R におけると同様にすべて成り立つ。

その他の性質実函数の中には極限をとることでまで連続的に延長することができるものもある。例えば指数函数や自然対数はやとして連続的に延長できる。

また実函数に対する不連続性の中にはを考えることで除くことができるようになるものもある。例えば、函数はおよびと置くことにより（連続性の定義にもよるが）連続にすることができる。一方、函数はが左からへ近づけばとなり、右からに近づけばとなるから、連続にすることができない。

正の無限大と負の無限大とを区別できない実射影直線と比べれば、結果として実射影直線上では極限を持つ函数が、片や補完数直線上では絶対値をとらなければ極限を持つようにならないという場合があり得る（例えば函数のにおける極限）。他方、およびなる極限は実射影直線上ではでのそれぞれ右側および左側極限に対応し、極限が存在するというためには両者が一致しなければならないから、指数函数や逆正接函数は実射影直線上のにおいて連続にすることはできない。

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