数学において、無限級数 − + − + … は絶対収束する交項級数の簡単な例である。
これは初項 、公比 − の等比数列であり、その和は以下のようになる。
ハッケンブッシュと超現実数
この級数を僅かに変えると以下の級数になる。
この級数は正の整数に正か負の符号をつけたすべての2の負冪を含む級数を足した形であるので、超現実数 を表す無限の青赤の列で表現することができる。 LRRLRLR… = Berkelamp et al. p.79
Rが続く部分を除去して少しシンプルなハッケンブッシュ列を得る。 LRLRLRL… = Berkelamp et al. pp.307-308
ハッケンブッシュゲームの構造の言葉で言えば、この等式は右に描かれたボードが 0 の値をもつことを意味する。どちらのプレイヤーが動こうが、2番目のプレイヤーが勝つ戦術をもっている。
関連する級数 + + + + ⋯ は絶対収束するということは、収束する。実際後者の級数は 1 に収束し、1 の二進展開の一つが 0.111… であることを証明している。 級数 − + − + … の項を2つずつまとめると、同じ和をもつ別の幾何級数 + + + + … になる。この級数は、数学史上最初に和が計算されたものの一つである。アルキメデスが紀元前250年から200年頃に使用したのであるシャウワー、ワトソン p.3。 発散級数 1 − 2 + 4 − 8 + … のは、 − + − + … である。したがって、前者の級数は普通の意味では和をもたないにもかかわらず、 にであるコレバール p.325。
脚注
参考文献