数学における微分幾何学（びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語: differential geometry）とは、曲線・曲面や、より一般の可微分多様体の幾何学的性質を調べる幾何学の分野である。これに対し、可微分多様体とその間の微分可能な写像（特に微分同相写像）を対象として、滑らかな構造のみに依存する性質を調べる数学の分野は微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology）とよばれ、微分幾何学とは区別されることもあるが、両者の境界は必ずしも明確ではない。
これらは可微分多様体についての幾何学を構成しており、互いに密接に関連している。微分幾何学は曲線や曲面の研究を起源として18世紀から19世紀にかけて発展し、微分位相幾何学は20世紀の位相幾何学の発展の中で確立された。また、力学系や偏微分方程式の視点からも直接に研究され、これらの分野と相互に影響を与えてきた。応用としては、一般相対性理論における時空の記述のほか、ゲージ理論、弦理論、ハミルトン力学など物理学の各分野での利用が知られている。
歴史 微分幾何学の起源は、微分積分学の成立後に行われた平面（空間）曲線の曲率の研究と、曲面の研究にさかのぼる。オイラーは曲面の各点における曲率を論じ、モンジュは曲面を微分方程式の観点から調べた。ガウスは1827年（刊行は1828年）の論文で、曲面のガウス曲率が曲面上での長さの測り方のみから定まること（驚異の定理）を示し、曲面の内在的な幾何学への道を開いた。リーマンは1854年の教授資格講演でこの考えを任意の次元に拡張し、リーマン幾何学の基礎を築いた（邦訳：足立恒雄ほか編訳『リーマン論文集』朝倉書店、2004年）。
その後、クラインはエルランゲン・プログラム（1872年）で幾何学を変換群の観点から整理し、カルタンは微分形式と移動フレームの方法を発展させ、微分幾何学の手法に大きな影響を与えた。また、力学系や偏微分方程式の視点からも直接に研究され、これらの分野と相互に影響を与えてきた。応用としては、一般相対性理論における時空の記述のほか、ゲージ理論、弦理論、ハミルトン力学など物理学の各分野での利用が知られている。20世紀には、ホイットニーによる多様体の定式化と埋め込み定理（1936年）、ミルナーによるの発見（1956年）などを通じて、微分位相幾何学が成立した。
微分幾何学の道具立て 微分幾何学における基本的な課題の一つは、多様体上で微分積分学を展開することである。これには多様体、接束、余接束、外微分、p-次元部分多様体上のp-形式の積分、ストークスの定理、ウェッジ積、リー微分などの概念や定理の研究が含まれる。これらはみな多変数の微積分と関連しているが、幾何学的な理論に応用するために、特定の座標系の取り方によらずに意味を持つような形で定式化される必要がある。さらに、多様体上の幾何構造を調べる道具として、各接空間に内積を与えるリーマン計量、異なる点の接空間を比較するための接続（共変微分）、それらから定まる測地線や曲率、ベクトル束などのファイバー束、リー群の作用などがある。二階の導関数の持つ幾何学的な性質、特に曲率の多くの側面は、接続の概念を通じて記述される。
内在的な定式化と外在的な定式化 微分幾何学は、初期には外在的な視点に立って研究されていた。外在的な視点とは、（曲面としてはじめから三次元の空間の中に実現されているものを考えるように）曲線や曲面を、より高次元のユークリッド空間の中におかれたものとして見ることである。この視点は具体的な図形に対して直観的で計算もしやすく、最も基本的な結果は曲線や曲面に関するものである。
これに対し、ガウスは1827年に、ガウス曲率が曲面上での長さの測り方のみから定まること（驚異の定理）を示した。
これら二つの視点は融和させることが可能であり、外在的な幾何とは、内在的に定められた幾何学的対象に付加的な構造を付与することだとも考えられる。実際、ナッシュの埋め込み定理によれば、任意のリーマン多様体は十分高い次元のユークリッド空間の中に等長的に埋め込むことができる。
微分幾何学の分野 古典微分幾何学 三次元のユークリッド空間内の曲線や曲面を対象とする古典微分幾何学では、曲線については曲率や捩率（フレネ・セレの公式）、曲面については第一基本形式・第二基本形式、ガウス曲率などが調べられる。ガウス曲率が第一基本形式のみから定まること（驚異の定理）や、曲面の曲率の積分と位相的性質を結びつけるガウス・ボネの定理は、後のリーマン幾何学の出発点になった。
リーマン幾何学
リーマン幾何学では、滑らかな多様体の各点の接空間に内積（リーマン計量）を与え、無限小の範囲ではユークリッド空間と同様に長さや角度を測れるようにしたリーマン多様体が主要な研究対象となる。リーマン多様体上では関数の勾配、ベクトル場の発散、曲線の長さ、局所的な最短線の一般化である測地線など、様々なユークリッド幾何の概念が一般化される。ただし、ユークリッド空間がもつ並進や回転による大域的な対称性は、一般のリーマン多様体では成り立たない。リーマン曲率テンソルがリーマン多様体の各点に対して定まり、これによって多様体がどれだけ平坦かをはかることができる（曲率テンソルが至る所で零であることは、多様体が局所的にユークリッド空間と等長であることと同値である）
リーマン多様体の概念をさらに一般化し、各点での接ベクトル空間に、滑らかに変化するノルム（一般には内積から定まるとは限らない）が定義されている状況を考えるフィンスラー幾何学が得られる。
シンプレクティック幾何学
シンプレクティック幾何学では、シンプレクティック形式（つまり、非退化な閉2-形式）があたえられたシンプレクティック多様体（偶数次元でなければならない）が主要な研究対象になる。リーマン幾何学と異なり、次元が同じシンプレクティック多様体の局所的な構造はすべて同じになり（ダルブーの定理）、したがって本質的に問題になるのは大域的な構造だということになる。シンプレクティック幾何学はハミルトン力学の数学的な枠組みと深く結びついており、古典力学の相空間である余接束は、自然にシンプレクティック多様体の構造を持つ。
複素幾何学
複素微分幾何では、正則関数によって座標変換が与えられる座標近傍系（正則なアトラス）を持つ複素多様体が研究される。複素多様体の各接空間には、自乗が -1 倍写像となる実線型変換が自然に定まる。一般に、接束の自己準同型（つまり(1, 1) 型のテンソル場）で、を満たすものを概複素構造といい、概複素構造を持つ実多様体 M は概複素多様体とよばれる（このような M は偶数次元でなければならない）。概複素構造 J の可積分性の障害を表すNijenhuisテンソル が消えていることは、J が正則なアトラスから定まる複素構造であることの必要十分条件であり、ニューランダー・ニーレンバーグの定理として知られている。
複素多様体 (M, J) に対し、さらにリーマン計量 g で概複素構造 J と両立する（すなわち を満たす）ものを考える。このとき で定まる2-形式 ω（ケーラー形式）が閉形式になっているならば、(M, J, g) はケーラー多様体とよばれる。ケーラー多様体は特に複素多様体であり、また ω をシンプレクティック形式とするシンプレクティック多様体にもなっている。複素射影空間の部分多様体として得られる滑らかな射影多様体は、フビニ・スタディ計量の制限によりケーラー多様体となるため、ケーラー多様体の例を数多く与える。
ミラー対称性は弦理論の研究に端を発する現象であり、カラビ・ヤウ多様体について、その複素幾何学と、ミラー多様体のシンプレクティック幾何学との間に対応があることを示唆する。
その他の分野 微分幾何学には上記のほかにも、接触幾何学、共形幾何学、リー群とその等質空間の幾何学（エルランゲン・プログラムとの関連）、ファイバー束上の接続を扱うゲージ理論の数学的側面などの分野がある。
微分位相幾何学 微分位相幾何学では多様体上の滑らかな構造のみに起因するような構造や性質が調べられ、多様体の同値関係としては微分同相が用いられる。滑らかな多様体は、リーマン計量などの付加的な幾何構造を持つ多様体と比べて、構造上の制約が少ない対象である。付加的な構造は、微分位相幾何学的に可能な変形や同値関係の取り方を制限する要因になることがある。例えば体積やリーマン曲率は、一つの滑らかな多様体上に与えられた異なるリーマン計量を、等長という同値関係のもとで区別する不変量になりうる。つまり、多様体を滑らかに「引き延ばす」ことができるとしても、それによって曲率や体積が変化し、リーマン多様体としては別のものになることがありうる。この分野の主な道具や結果として、ホイットニーの埋め込み定理、モース理論、コボルディズム、スメイルによる5次元以上のポアンカレ予想の解決などがある。
逆に、滑らかな多様体は位相多様体と比較すればより多くの構造をもっている。位相多様体の中には滑らかな構造を持たないものがあり、例えば4次元では、フリードマンの分類により存在が示されるE8多様体は、ドナルドソンの定理により滑らかな構造を持たないことが知られている。接続や微分形式の外微分のように、滑らかな構造そのものに依存し、一般には位相多様体に対して定義できないものもある。
関連項目 位相幾何学 リー群 ゲージ理論 一般相対性理論 古典力学
脚注
参考文献