外微分

可微分多様体上、外微分（がいびぶん、）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、計量に依存しない一般化ができる。

-形式は空間内の微小な次元平行面体（あるいはより一般の微小な次元領域）を通過する流束を測るものと考えることができる。この見方に立てば、その外微分である -形式は、微小な次元領域を考えた際に、その領域の境界をなす次元面全体を通過する正味の流束を測るものと解釈できる。これは、マクロな領域における一般化されたストークスの定理が、無限小のスケールにおいても成り立っていることを直感的に示している。

定義次微分形式の外微分は次微分形式である。

が滑らかな関数（形式）であれば、の外微分はの全微分である。つまり、外微分は任意の滑らかなベクトル場に対して、（ただしは方向へのの方向微分）。を満たす一意的な 1 形式である。

一般の形式の外微分には様々な同値な定義が存在する。

公理による定義外微分は以下の性質を満たす -形式から -形式への一意的な -線型写像として定義される：

滑らかな関数に対してはの微分である。任意の滑らかな関数に対してである。である、ただしは -形式とする。つまり、は微分形式のなす外積代数上次数の反微分である。

公理の帰結として、二番目の性質はより一般性を持って成り立つ。実は、任意の -形式に対して（より簡潔には、）である。三番目の性質は特別な場合として、が関数でが -形式であればであるということを含んでいる（関数は形式であり、スカラー乗法と外積は引数の一方がスカラーであるとき同値であるため）。

局所座標系による定義代わりに、完全に局所座標系の言葉で定義することもできる。まず、座標の微分は各点の余接空間における基底をなし、座標チャートの範囲内で 1-形式の局所的な基底をなす。なる各に対してとし、多重添字（および表記の濫用でをと書く）が与えられたとき、上の単純 -形式の外微分は

で与えられる。一般の -形式はがの -元部分集合全てを渡る単純 -形式の和

に書かれるから、その外微分の定義は単純形式の場合を線型に拡張することによって与えられる。が多重添え字の成分の 1 つであるときにはいつでもであることに注意しよう（ウェッジ積を参照）。

この局所座標系による定義は前節の公理による定義から従う。実際、単純形式に対し、前節で述べた性質を適用すればでだからを得る。

結果を一般の場合に直截に書けば、-形式の外微分は

と定義される。

不変公式による定義代わりに、-形式の外微分を、個の任意の滑らかなベクトル場で評価したときの明示的な公式を与えることもできる：

ただしはを表し、ハットはその元を取り除くことを表す：

特に、形式に対して次が成り立つ： , ただしとはベクトル場である。

多様体上のストークスの定理が境界をもつコンパクトで滑らかで向き付け可能な次元多様体で、は上の形式とするとき、一般化されたストークスの定理は

なることを述べる。直感的には、が無限小領域に分割されたと考え、すべての領域の境界に渡って流れ (flux) を加えたとき、内部の境界はすべて打ち消し合い、の境界を通る全体の流れが残る。

例例 1. -形式の基底上を考えよう。その外微分は：

最後の式はウェッジ積の性質から容易に従う。すなわち、. 例 2. を上の -形式とする。各項に上記の公式を適用することによって（およびと考える）次が成り立つ。

さらなる性質閉形式と完全形式

-形式はであるときに閉 (closed) であるという（すなわち閉形式はの核の元のことである）。はある -形式に対してであるときに完全 (exact) であるという（すなわち完全形式はの像に属する）。ゆえ、任意の完全形式は閉である。ポワンカレの補題は、可縮領域において逆が正しいと述べている。

ド・ラームコホロジー外微分はという性質をもつので、それを多様体上のド・ラームコホモロジーを定義する微分（双対境界写像）として使うことができる。-次ド・ラームコホモロジー（群）は完全形式を法とした閉 -形式のなすベクトル空間である。直前の節で述べたように、ポワンカレの補題はこれらのベクトル空間がに対して可縮領域に対して自明であることを述べている。滑らかな多様体に対して、形式の共通部分はド・ラームコホモロジーから上の特異コホモロジーへの自然な準同型を与える。ド・ラームの定理はこの写像が実は同型であることを示しており、ポワンカレの補題の遠大な一般化である。一般化されたストークスの定理によって示唆されているように、外微分は特異単体上の境界写像の「双対」である。

自然性外微分はテクニカルな意味で自然である：が滑らかな写像でが各多様体に多様体上の -形式の空間を割り当てる滑らかな反変関手であれば、次の図式は交換する

よってである、ただしはのを表す。このことは、をの押し出し（微分）として、が定義によりに等しいことから従う。ゆえにはからへの自然変換である。

ベクトル解析における外微分たいていのベクトル解析の演算子は外微分の概念の特別な場合であるか、あるいは、近い関係である。

勾配滑らかな関数は -形式である。この -形式の外微分は -形式

である。つまり、形式は任意のベクトル場に作用して、各点においてとの勾配との内積を返す。

-形式は余接束の断面であり、各点の余接空間においての局所的な線型近似を与える。

発散上のベクトル場は対応する -形式

をもつ、ただしはその元を除くことを意味する。

（例えば、つまり三次元空間のとき、-形式は局所的にとのスカラー三重積である。）のある超曲面上の積分はのその超曲面上の流束である。

この -形式の外微分は -形式

である。

回転上のベクトル場もまた対応する -形式

をもつ。局所的には、はとのドット積である。ある道に沿ったの積分はその道に沿ってに逆らってされた仕事である。

のとき、三次元空間において、-形式の外微分は -形式

である。

grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式任意のリーマン多様体上、標準的なベクトル解析の演算子は座標によらない (coordinate-free) 表記で次のように書くことができる：

ここではホッジのスター演算子であり、およびは音楽同型、はスカラー場、はベクトル場である。

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