数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection property; 主射影性質）を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。
数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン＝ニコディムの定理やポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。
定理の主張 はリース空間 に属する任意の正元とする。 の正元 が の成分 (component) であるとは、 が成立することを言う. Def.38.1。 が互いに素な の成分であるとき、 の任意の実線型結合を -単関数と呼ぶ。
定理 (Freudenthal). Thm.40.2 単項射影性質を持つリース空間 と の任意の正元 について、 の生成する主イデアル内の任意の元 に対して、適当な -単関数列 および が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、 に -一様に収束する。
ラドン＝ニコディムの定理との関係 を測度空間とし、 を 上の符号付 -加法的測度の実空間とする。 はを備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 に対し、上述のように定義される -単関数は、 上の -可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、 によって生成される帯（band）内の任意の測度 は 上の -可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、 はある 関数に対応し、 によって生成される帯とバナッハ束 の間の等長束同型を構成することが示される。
関連項目 ラドン＝ニコディムの定理
注
参考文献