数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合（ぎとつしゅうごう、）は 次元複素空間 内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。
今
を領域、すなわち、開連結部分集合とする。 が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての実数 に対して
が の相対コンパクトな部分集合となるような、 上のある連続多重劣調和函数 が存在することを言う。言い換えると、 が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。
が （二階連続的微分可能）級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、 級の境界を持つ には定義函数が存在することが示される。すなわち、 および を満たすような 級の の存在が示される。今、 が擬凸であるための必要十分条件は、すべての と、 での複素接空間内の , すなわち
を満たすような に対して、
が成立することである。
の境界が 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。
命題1 が擬凸であるなら、境界が 級（滑らか）で、 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域 で
を満たすものが存在する。
この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような に対して、実際に エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。
の場合
複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。
レヴィの問題
「擬凸領域は正則領域か？」と問う問題をレヴィの問題という。1911年にによって提出された。
多変数函数論の発展に大きな影響を与えたこの問題は1942年に岡潔によって2変数の場合にまず解かれた。その後1953年に岡によって一般次元の場合にも解かれ、1954年にやによっても独立に解かれた。なお、未公表ではあったが1943年に岡は一般次元の場合も解いていた。一松信も1949年に公表された日本語の論文の中で一般次元の場合を解いていた。
1958年には岡の証明を簡易化した。1965年にラース・ヘルマンダーは
方程式を直接解く方法による別証明を得た。
岡潔だけはこの問題をフリードリヒ・ハルトークスにちなむハルトークスの逆問題という名前で呼んでいた。レヴィの問題と異なり、ハルトークスの逆問題では境界の2回連続微分可能性を課さないので、その意味でより一般的なのだという。
この問題の解決により、正則領域がはじめて境界局所的な概念によって特徴づけられた。
出典
関連項目 正則凸包 シュタイン多様体
参考文献 Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7). Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
レヴィの問題