数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として）
は（多項式ではない）冪級数である。
定義 を可換とは限らない環とする。 に係数をもち を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 () を の元として、
の形をしたものである。ある が存在して のとき となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
より形式的な定義 を非負整数全体の集合とし、配置集合 すなわち から への関数（ に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
によって演算を定めると、 は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 である。
ここでの は上の と対応する。
合成 定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、 とすると、 は 次以下の項をもたないので、合成
が意味をもつ。例えば
は形式的冪級数としても正しい等式である。
性質 以下では を単位元をもつ可換環とし、 とする。 が の単元であることと が の単元であることは同値である。 が冪零であれば、すべての は冪零である。逆は一般には成り立たないが、 がネーター環であれば成り立つ。 がネーター環であれば、 もネーター環である。 が整域であれば、 も整域である。 が のジャコブソン根基に属することと、 が のジャコブソン根基に属することは同値である。
形式微分 に対し、 を f の形式微分という。, に対し、, などが成り立つ。
これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。
一般化 形式的ローラン級数 有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。 を自然数、各 を可換環 の元として、 . このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、 と表記する。とくに が体 であるとき、 も体であり、これは の商体でもある。
多変数の形式的冪級数 任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。 が添え字集合であり を に対し不定元 全体の集合とすれば、単項式 は の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 にもつ の形式的冪級数は単項式 の集合から対応する係数 への任意の写像によって決定され、 と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を と表記し、以下のように環の構造を与える。
および
一変数の場合と同様に、 である。
の場合には、 とも書かれる。 である。
性質
多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。 しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 はイデアル による 進距離で完備であるとする。このとき であれば、 の に を代入したものは収束する。 ネーター環 上の多項式環 の、 による完備化は、 と同型である。これは の 進位相による完備化とも同型である。 がネーター環であれば、 もネーター環であり、 が整域であれば も整域である。 が体であれば、 は正則局所環 である。
参考文献 . Werner Balser: Formal Power Series and Linear System of Meromorphic Ordinary Differential Equations, Springer, ISBN 0-387-98690-1 (2000). 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義 『ベルヌーイ数とゼータ関数』 牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5