アーベル方程式

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、）とは、

あるいは

の形式で記述され、 の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性 上述の二つの方程式は同値である。実際、 を可逆函数とすると、二番目の方程式は

のように書くことが出来る。すると とすることで、この方程式は

のように書くことが出来る。既知とされる函数 に対して、問題は函数 についての函数方程式を解くこととなる。また のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ に対して変数変換 を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 に書き換えることが出来る。

さらに変換 を施すことで、ボッチャーの方程式 が得られる。

歴史 はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた 。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた Studied is the Abel functional equation α(f(x))=α(x)+1。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる。

特別な場合

テトレーションの方程式は、 であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

や

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものであるDudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis 。

関連項目 函数方程式 反復函数 シュレーダーの方程式 ボッチャーの方程式

参考文献