連接環

連接環（れんせつかん、、）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

連接環

定義

を環とし を -加群とする。次が完全列になるような自由加群 と が存在する

これは の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 は が有限型であれば有限型 (type fini) であり、 と が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる 。

-加群 は有限型でありかつ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

環 は有限型の のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である, p. 554。

例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない, §I.2, exercice 12(f)。

性質

を環とする。

を左 -加群とする。以下の条件は同値である, Lem. 508： は左連接である。 は有限型でありすべての整数 に対して左 -加群のすべての準同型 の核は有限型である。 は有限型でありすべての有限型左 -加群 に対してすべての準同型 に対して は有限型である。

さらに、以下の条件は同値である他の同値条件は , §I.2, exercice 12 を参照せよ：

は左連接である。 有限型左自由 -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。 すべての有限表示左 -加群は連接である。 すべての整数 に対して左 -加群のすべての準同型 の核は有限型である。

左ネーター環は左連接である。

連接シルヴェスター環

をとする。この環が右連接であるのは、 に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る, Thm. 10。

例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

可換シルヴェスター環 が連接であるのは がGCD環であるとき、かつそのときに限る, Lem. 4.1。

を複素平面の単連結開集合とする。 内の有界解析関数のハーディ環 はベズー環でない連接シルヴェスター環である, Cor. 3.31。

グロタンディーク圏における一般化

グロタンディーク圏

次のようなアーベル圏 をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 を持ち、次の条件 AB5) を満たす, §1.5： が の対象であり が の部分対象でありそして が の部分対象の増大フィルター族であれば、

例

環 上の左加群の圏 は生成元として加群 を持つグロタンディーク圏である。

を位相空間、 を 上の環の層、 を 上の左 -加群のの圏とする。この圏 はグロタンディーク圏である, Prop. 3.1.1。 における生成元の族は faisceaux induits からなる、ただし は の開集合全部の集合を表記する, (3.1.5)。

連接対象

をグロタンディーク圏とする。 の対象 は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 なる の増大フィルターのすべての族 に対して、 となる添え字 が存在する。 の対象 は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 、ただし は有限型、に対して は有限型である, Sect. 2, Def. 1。

を生成元として対象 を持つグロタンディーク圏とし

を における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 が有限型であるのは、完全列

ただし は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 、ただし は有限、に対して完全列

ただし は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる の充満部分圏は、 と表記されるが、アーベルであり、入射 は完全である, Chap. I。

例

圏 において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

圏 において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）-加群全体である。

環の連接層 環 の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 と左 -加群のすべての準同型写像 に対して、この準同型の核は有限型である, §5。

すると以下の結果が成り立つ, §2, Prop.7： を左連接環の層とする。左 -加群の層 が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 -加群の準同型 の余核に同型である、すなわち、 のすべての空でない開集合 に対して完全列

が存在する。

脚注と参考文献 脚注

参考文献