数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。
半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として かつ凸である。
各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。
定義 ノルム体 （ふつうは実数体 または複素数体 ）上のベクトル空間 に対し、 上の半ノルムとは、写像 で絶対斉次性および劣加法性を持つものを言う。式で書けば、 および を任意として
絶対斉次性
劣加法性
が成り立つ。ただし、 は係数体の絶対値である。半ノルム を備えたベクトル空間 は と呼ぶ。
例 任意のノルムは、半ノルムである。 各ベクトルを全て零ベクトルに写す零函数 は半ノルムである。 実または複素数値線型函数の絶対値は半ノルムである。 任意の正定値実対称双線型形式（または複素半双線型形式） が誘導する は半ノルムである。 位相空間 とそのコンパクト部分集合 に対し、 と置けば連続函数 全体の成す空間上の半ノルムが定まる。ここで、函数の値をコンパクト集合上でしかとっていないから、右辺の上限は存在して有限となることに注意せよ。 線型空間の併呑かつ絶対凸な部分集合 に対するミンコフスキー汎函数も半ノルムの例である。 ノルム空間 の連続的双対 において と置けば、 上の半ノルム が定まる。 連続線型写像の空間 には、 および が半ノルムとして定義できる。
性質 定義から、絶対斉次性の式で とおくことにより、直ちに , すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル も半ノルムが となることが起きうる。
劣加法性（三角不等式とも呼ばれる）において と置けば、絶対斉次性によって
半正定値性
が従う。また を考えることで、
が分かる。 また、三角不等式を に適用して
逆向き三角不等式
の成立も確かめられる。 さらに、半ノルムがとなることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性も
と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる（それを確かめるには、凸性を表す式で と置いて全体を 倍すればよい）。
商ノルム空間
絶対斉次性と劣加法性から、のベクトル全体の成す集合
が の部分線型空間となることが従う。ここで 上の同値関係 が
によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合 は、線型空間として商線型空間 であり、半ノルム に関してノルム空間となる。これを の半ノルム による商ノルム空間と言う。
このような構成は、例えばL-空間の定義に用いられる。
半ノルム族
函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの族 によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間 に位相が入り、 は位相線型空間となる。
そのためにまず、部分集合 が開であるとは、適当な に対し、 と有限個の添字 が存在して、任意の に対して
となるときに言うと定める。
この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族 が分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各 に対し、少なくとも一つの半ノルム が存在して となるときに言う。線型空間 が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ（分離的）となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれる
注 注釈
出典
参考文献
関連項目 ノルムの一般化: 準ノルム / / Fノルム etc.
外部リンク