数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。
ステートメント K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。
加法版 K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。
群コホモロジーを用いた表現 K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき
が成り立つ。
例 K/k を2次拡大 とする。ガロワ群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
K の元 （）はノルム を持つ。ノルムが1の元は の有理数解、もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によると、ノルムが1の元 y はある元 （）を用いて と表される。分母分子に共通分母をかけて払うことで、c と d を整数として次のように表すことができる。
これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円上の有理数点はを満たすピタゴラス数を表す。
関連項目 クンマー理論 アルティン・シュライアー理論 群コホモロジー ガロワ・コホモロジー
参考文献