数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 の函数的平方根 とは、すべての に対して を満たすもののことを言う。
例えば、 は の函数的平方根である。
同様に、チェビシェフ多項式 の函数的平方根は である。これは一般には多項式ではない。
また、 は の函数的平方根である。
が の函数的平方根であることは、 あるいは と表記される。
指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された。
ℝ 上での の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれるJeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7。特殊解は に対して である。これは あるいは () を含む。バベッジは、任意の与えられた解 に対して、任意の可逆函数 による函数的共役 もまた解であることを注記している。
任意の函数的 -乗根（ だけでなく、連続、負、無限小の も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る 。
例
[赤の曲線] [青の曲線] [橙の曲線] [橙の曲線より上にある黒の曲線] [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]
関連項目
反復合成写像 写像の合成 アーベル方程式 シュレーダーの方程式
フロー (数学)
分数階微積分学
参考文献