抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。
実際、環 上の一変数多項式環 は と（ を含む）自然数全体の成す（加法的）モノイド （あるいは適当な不定元 を用いて乗法的に書いた可換モノイド ）から得られるモノイド環 であり、同様に（加法）モノイド は -変数の多項式環 を与える。
与えられたモノイドがさらに群を成すとき、得られるモノイド環は群環と呼ばれる。
定義 を環とし をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。
言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。より厳密には、 および に対して、内積 に関する意味で、形式和の集合 と写像空間 は「双対」の関係にある。
は環として単位的である。実際、 の乗法単位元 と の単位元 に対して、 は上記乗法の単位元を与える。 が環として可換となるのは、 が可換モノイドであるときである。 係数環の変更: 環 とその間の環準同型 に対して、モノイド環の間の準同型 が （形式和で書けば ）とおくことにより一意的に定まる。
に対して元ごとのスカラー倍
を定義して は 上の多元環になる。
普遍性 環 とモノイド が与えられると、各 を （ は の単位元）に送る環準同型 と、各 を （ は の乗法単位元）に送る （ は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で と は に標準的に埋め込めて、任意の と に対して と は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。 モノイド環の普遍性 任意の環 について、環準同型 およびモノイド準同型 （S は乗法についてモノイドと見る）の組で と が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 で かつ を満たすものが一意的に存在する。
圏論的に述べれば、モノイドの圏 と結合的 -多元環の圏 に対して、函手 を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み が普遍である。即ち -多元環 と任意のモノイド準同型 に対し となる -多元環準同型 が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は の左随伴である：
添加
添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 である：
η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。
一般化 が半群であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R[G] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。
は環、 は全順序群、すなわち を満たす群とするとき、
と置けば、 は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。 が体のとき は可除環になる。例えば を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 は -係数形式ローラン級数環である。
注釈
参考文献
関連文献 R. Gilmer. Commutative semigroup rings. University of Chicago Press, Chicago–London, 1984.
関連項目 自由代数
外部リンク