数学の環論において、（ を持つ可換とは限らない）環 が単純（たんじゅん、）であるとは、 の両側イデアルが と しか存在しないことをいう。
構造定理 単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という。（さらにネーター的でもある。）単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。
より詳しくは、次が成り立つ。単純環 R について以下は同値： R は左アルティン的 R は半単純 R は極小左イデアルを持つ R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型
を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル に対し、 を自己準同型環 End(RI) （右から作用すると考える）とすると、R と End(ID) は自然に同型である（後者は左からの作用を考える）。
脚注
参考文献