数学の函数解析学の分野において、バナッハ空間（バナッハくうかん、）は最も重要な研究対象の一つである。その他の解析学の分野においても、実際に現れる空間の多くはバナッハ空間である。
古典バナッハ空間 によると、古典バナッハ空間（classical Banach spaces）は によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。
以下の表で、 は実または複素数体を表し、 は有界閉区間 を表す。 は を満たす実数で、 はそのヘルダー共役（これも を満たす）を表す。すなわち
である。記号 は -集合代数を表し、 は（ba空間のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 は正測度、すなわち、適当な -集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値集合函数とする。
+ 古典バナッハ空間 双対 回帰性 弱完備 ノルム 注釈 と同型であるが等長ではない。 と等長同型。 と等長同型。 はコンパクトハウスドルフ空間。 ? ? ? ? 測度 が 上で -有限である場合。 ? ? は の。 ? ⇔ ソボレフ空間 と同型。 特にテイラーの定理により と同型。
その他の解析の分野におけるバナッハ空間 アスプルンド空間 ハーディ空間 の空間 有界変動函数の空間 ソボレフ空間 バーンバウム＝オルリッチ空間 ヘルダー空間 ローレンツ空間 モジュラー関数空間
反例を与えるバナッハ空間 ジェームズ空間：を持つが無条件シャウダー基底を持たないバナッハ空間。ジェームズ空間はその二重双対と等長同型であるが、回帰的ではない。 ：ℓpとc0のいずれも埋め込むことの出来ない回帰的バナッハ空間。 ウィリアム・ティモシー・ガワーズにより構成された、 と同型であるが と同型でないような空間 X はシュレーダー＝ベルンシュタインの定理の前提条件を弱める反例を与えるW.T. Gowers, "A solution to the Schroeder–Bernstein problem for Banach spaces", Bulletin of the London Mathematical Society, 28 (1996) pp. 297–304.。
注釈
参考文献 . .