キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線（キーペルトそうきょくせん、Kiepert Hyperbola）とは、三角形の3つの頂点と重心と垂心を通る双曲線である。また外接円錐曲線の一種である。名前はドイツの数学者であるルードヴィヒ・キーペルトに由来している。

キーペルト点と存在証明

キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。三角形に対し、となる点をとる。が正の時ははに対しと逆側に取る。が負の時ははに対しと同じ側に取る。同様に , をとる。 , , の交点がキーペルト点である。キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。とが交わる点をとする。点の定義より、はとなる二等辺三角形である。三角形の面積公式を用いると、との面積は以下のように表せる。

3直線が1点で交わることは、チェバの定理の逆を用いて証明できる。

直線と辺の交点をとする。点とは直線上にあるため、2つの三角形との面積比は、底辺をそれぞれ , と見なした際の高さの比に依存せず、線分との比と関連付けられる。この時、点を頂点とするとの面積比は、共通の高さを持つため底辺の比に等しくとなる。同様に、点を頂点とするとの面積比もとなる。

直線と辺の交点をとする。頂点を共有するとの面積の比は、それらの底辺の長さの比に等しい。同様に、頂点を共有するとの面積比も底辺の比に等しい。

したがって、これらの面積の差を用いても比は変わらないため、以下の関係が成り立つこの性質は比の性質（合除比の理）から導かれる。すなわち、のときが成り立つ。。

ここで、三角形の面積公式を用いると、

点 x の定義より △BCx は二等辺三角形であるため、である。よって、面積比は以下のようになる。

同様に、直線 By と辺 CA の交点を E、直線 Cz と辺 AB の交点を F とすると、

となる。これらの比の積を計算すると、

となり、チェバの定理の逆によって3直線 , , （すなわち , , ）は1点で交わる。

性質上述のチェバの定理の証明から、キーペルト点の重心座標は以下の式で与えられる。

ここで、, , である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。 . キーペルト双曲線の2本の漸近線は、ブロカール軸と外接円との2つの交点におけるシムソン線である。これらの漸近線は互いに直交し、その交点は九点円上にある。この点の重心座標は以下のように表される。 .

三角形が正三角形の場合、であるため、キーペルト双曲線の重心座標による方程式は、すなわちとなる。これは特定の曲線を表さず、この方程式は平面上の任意の点によって満たされるため、双曲線は不定となり、平面全体に退化すると解釈される。

線上の主な点以下の点はキーペルト双曲線上にある。 3つの頂点重心垂心フェルマー点ナポレオン点中点三角形の内心(シュピーカー点) 第三ブロカール点タリー点ベクタン点

脚注

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