可換環 上のハイゼンベルク群 () とは、通常の行列の積に関して

の形をした行列がなす群である。これは群の中心と交換子部分群が一致する非可換な冪零群であり、 などと表される。係数環 としては実数体 、整数環 、有限体 などを考えることが多い。

は3次元の単連結なリー群であり、任意の元は指数写像（行列の指数関数）を用いて

と表すことができる。

は の離散部分群であり、任意の元は

とおけば と表せることがわかる。また が成り立つので は と の2元から生成される。

は一般線型群 のシロー 部分群で、位数は である。 が奇素数のとき、すべての元 は を満たす。