係数環の変更

代数学において，環準同型が与えられると，加群の係数環を変更する3つの方法がある；すなわち，右 -加群と右 -加群に対し， , 誘導加群． , 余誘導加群． , 係数の制限．それらは随伴関手として関係する：

これはと関係する．

Operations 係数制限係数の制限は -加群を -加群に変える．代数幾何学では，用語「係数制限」はしばしばのシノニムとして用いられる．

定義

とを2つの環とし（可換であってもなくてもよく，単位元を持っても持たなくてもよい），を準同型とする．を上の加群とする．このとき次のようにしてを上の加群と見なせる：の作用をとに対してによって与える．

関手としての解釈

係数制限は加群の圏から加群の圏への関手と見ることができる．準同型は自動的にとの制限の間の準同型になる．実際，とに対し，

となる．

関手として，係数制限は係数拡大関手の右随伴である．

が有理整数環のとき，これは単に加群の圏からアーベル群の圏への忘却関手である．

体の場合

とがともに体のとき，は単射でなければならないので，によりはの部分体と同一視される．そのような場合加群は単に上のベクトル空間であり，当然任意の部分体上のベクトル空間でもある．すると制限によって得られる加群は単に部分体上のベクトル空間である．

係数拡大係数拡大は加群を加群に変える．

定義

この定義では環は結合的と仮定するが，可換であったり単位元を持ったりする必要はない．また，加群は左加群と仮定する．右加群の場合に必要な修正は容易である．

を2つの環の間の準同型とし，を上の加群とする．テンソル積を考える，ただしはによって右加群と見なす．は自身の上の左加群でもあり，2つの作用は可換である，すなわちとに対してである（よりフォーマルなことばでは，は両側加群である）から，はの左作用を引き継ぐ．それはとに対してによって与えられる．この加群はから係数拡大によって得られるといわれる．

インフォーマルには，係数拡大は「環と加群のテンソル積」である；よりフォーマルには，それは両側加群と加群のテンソル積の特別な場合である―― 両側加群と加群のテンソル積は加群である．

例最も単純な例の1つはであり，これは実数から複素数への係数拡大である．より一般に，任意の体拡大が与えられると，からに係数拡大できる．体のことばでは，体上の加群はベクトル空間と呼ばれ，したがって係数拡大は上のベクトル空間を上のベクトル空間に変える．これは，（実数から四元数への拡張）のように，可除環に対してもできる．

より一般に，体あるいは可換環から環への準同型が与えられると，環は上の結合多元環と考えることができ，したがって加群を係数拡大するとき，得られる加群は加群と考えることも（代数としての）の代数の表現をもった加群と考えることもできる．例えば，実ベクトル空間を複素化 (, ) した結果は，複素ベクトル区間（加群）とも（加群としてのの代数の表現）を持った実ベクトル空間とも解釈できる．

応用この一般化は体の研究に対してさえ有用である――特に，体に付随する多くの代数的対象はそれら自身は体ではなく表現論のように体上の代数のような環である．ベクトル空間上の係数を拡大できるのと同様に，群環上の係数も拡張でき，したがって群環上の加群すなわち群の表現の係数も拡張できる．特に有用なのは既約表現が係数拡大でどう変わるかを関係づけることである――例えば，平面の 90° の回転によって得られる位数4の巡回群の表現は既約な2次元の実表現であるが，複素数に係数拡大すると，2つの1次元の複素表現に分裂する．これはこの作用素の特性多項式が実数では2次の既約多項式であるが複素数では2つの1次式に分解することに対応する――実固有値は持たないが，2つの複素固有値を持つ．

関手としての解釈

係数拡大は加群の圏から加群の圏への関手と解釈できる．それはを上のようにに送り，準同型をで定義される準同型に送る．

係数余拡大（余誘導加群）

係数拡大と係数制限の関係

加群と加群を考える．準同型 , ただしは係数制限によって加群と見なす，が与えられたとき，を合成 , と定義する，ただし最後の写像はである．このは準同型であり，したがっては well-defined で，（アーベル群の）準同型である．

とがともに単位元を持つとき，逆写像があり，それは以下のように定義される．とする．するとは合成

である，ただし最初の写像は同型である．

この構成は群とが同型であることを示している．実はこの同型は準同型のみに依っており，したがって関手的である．圏論のことばでは，係数拡大関手は係数制限関手の左随伴である．

係数環の変更

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