自由リー環

数学において，与えられた体上の自由リー環（）は，集合によって何の関係も課されることなく生成されるリー環である．

定義

を集合とし，をからリー環への写像とする．リー環が上自由であるとは，任意のリー環と写像に対して，なるリー環の準同型が一意的に存在することをいう．

集合が与えられたとき，によって生成される自由リー環が一意的に存在することを示すことができる．

圏論のことばでは，集合をで生成された自由リー環に送る関手は集合の圏からリー環の圏へのである．つまり，の左随伴である．

集合上の自由リー環は自然に次数付けられる．自由リー環の 0 次成分は単にその集合上の自由ベクトル空間である．

ベクトル空間上の自由リー環を，体上のリー環の圏から体上のベクトル空間の圏への忘却関手，リー環の構造を忘れるがベクトル空間の構造は覚えておく関手の左随伴としても定義できる．

普遍包絡環集合上の自由リー環の普遍包絡環はで生成された自由結合代数である．により，それは自由リー環の対称代数と「同じ大きさ」である（つまり，両者をの元に次数 1 を与えて次数付けると，それらは次数付きベクトル空間として同型である）．このことは自由リー環の任意の与えられた次数のピースの次元を記述するのに使うことができる．

ヴィットは元集合上の自由リー環における次数の基本交換子の個数がネックレス多項式

で与えられることを示した．ここではメビウス関数である．

有限集合上の自由リー環の普遍包絡環の次数付き双対はである．

ホール集合

自由リー環の明示的な基底はホール集合 (Hall set) を用いて与えることができる．これは上の自由マグマのある種の部分集合である．自由マグマの元は葉がの元でラベル付けられる二分木である．ホール集合は群に関するの研究に基づいてによって導入された．続いては，それらが，降中心列によって与えられる自由群上のフィルトレーションに付随する次数付きリー環として生じることを示した．この対応は Philip Hall と Ernst Witt による群論における交換子の恒等式に動機づけられた．

リンドン基底特に，に対応する自由リー環の基底が存在し，Lyndon basis と呼ばれる．（これは Chen–Fox–Lyndon basis あるいは Lyndon–Shirshov basis とも呼ばれ，本質的には Shirshov basis と同じである．）ある順序付けられた alphabet の Lyndon words からこの alphabet 上の自由リー環の基底への次のように定義される全単射が存在する． word の長さが 1 ならばである（自由リー環の生成元）．の長さが 2 以上ならば，の長さがなるべく長くなるように Lyndon words をとってと書く ("standard factorization")．このときである．

シルショフ・ヴィットの定理

とは自由リー環の任意の部分リー環はそれ自身自由リー環であることを示した．

応用の Milnor 不変量は，その記事で議論されているように，自由リー環と関係する．

自由リー環

Źródło i licencja