圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる： よく現れる多くの圏は（暗に）関手圏であり、したがって一般の関手圏に対して証明された任意のステートメントは広く適用可能である； すべての圏は（米田埋め込みによって）関手圏に埋め込まれる；関手圏はもとの圏よりもよい性質をしばしば持っており、もとの設定では利用可能ではなかった操作ができる。
定義 を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、 を任意の圏とする。 から への関手全体のなす圏は、, , , などと書かれ、対象として から への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意： が関手 から関手 への自然変換で、 が関手 から関手 への自然変換であるとき、集まり は から への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、 は圏の公理を満たす。
全く同様に、 から への反変関手全体の圏を考えることもできる；これは と書かれる。
と がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、 から への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、 と書かれる。
例 が小さい離散圏（すなわち射が恒等射のみ）のとき、 から への関手は本質的には で添え字付けられた の対象の族からなる；関手圏 は対応する積圏と同一視できる：元は の対象の族で、射は の射の族である。 対象は の射で、射は の可換正方形）は単に である、ただし は2つの対象を持ち恒等射と一方から他方への1つの射を持つ（逆向きの射は持たない）圏である。 有向グラフは矢印の集合と頂点の集合と、矢印の集合から頂点の集合への各矢印の始点と終点を決める2つの写像からなる。すべての有向グラフの圏はしたがって関手圏 に他ならない、ただし は2つの射で結ばれる2つの対象からなる圏であり、 は集合の圏を表す。 任意の群 は対象が1つのすべての射が可逆な圏と考えることができる。すべての 集合の圏は関手圏 と同じである。 直前の例と同様に、群 の 線型表現の圏は関手圏 と同じである（ただし は体 上のすべてのベクトル空間の圏を表す）。 任意の環 は対象が1つの前加法圏と考えることができる； 上の左加群の圏は加法的関手圏 と同じであり（ただし はアーベル群の圏を表す）、右 加群の圏は である。この例により、任意の前加法圏 に対して、圏 を「 上の左加群の圏」、 を「 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。 位相空間 上の前層の圏は関手圏である：位相空間を対象が の開集合で、 が に含まれるとき、かつそのときに限り から へのただ1つの射があるような圏 と思う。すると 上の集合（あるいはアーベル群、環）の前層の圏は から （あるいは , ）への反変関手の圏と同じである。この例により、圏 は、位相空間から生じない一般の圏 に対してさえも、「 上の集合の」と呼ばれることがある。一般の圏 上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち 上のグロタンディーク位相である。（ に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる。）
事実 において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、 の各対象に対してバラバラに実行することで、 においても実行できる。例えば、 の任意の2つの対象 と が積 を持つとき、 の任意の2つの関手 と は次で定義される積 を持つ： の任意の対象 に対して 同様に、 が自然変換で各 が圏 において核 をもつとき、関手圏 における の核は、 のすべての に対して なる関手 である。
結果として、関手圏 は のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 がある： が完備（あるいは余完備）ならば もそうである。； がアーベル圏ならば もそうである；
また次も成り立つ： が任意の小さい圏ならば、の圏 はトポスである。
なので上の例から、有向グラフ、 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、 の表現、環 上の加群、位相空間 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。
先に述べた圏 の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。 の任意の対象 に対して、 を から への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
が圏 の圏 への充満埋め込みであると言っている。したがって は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 に対して実行できる：すると米田は の関手圏 への充満埋め込みを生む。したがって は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感（ で実行できる構成は に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 は（ との合成により）関手 を誘導する。 と が随伴関手の対であるとき、 と もまた随伴関手の対である。
関手圏 は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち は から への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 はしたがってデカルト閉圏である。
注
参考文献
関連項目 図式 (圏論)
外部リンク