メルテンスの定理

メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年にポーランドの数学者によって証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 評価の厳しさは素数定理よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。

定理 p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。

O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。

また第二定理に現れる定数 b をという。

第一定理の証明

素数 p が n の階乗 を割り切る回数を とおくと ルジャンドルの公式 より

であるから

が成り立つ。よって

となるから

となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より

が成り立ち、階乗の増大度について、

がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から

となる定数 が存在する。一方

となる定数 が存在することは

が収束することからわかる。

第二定理の証明 とおく。第一定理より である。よって積分

はのとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より

となるので、第二定理は

について成り立つ。

第三定理の証明 収束性は

および

から、第二定理よりすぐに導かれる。

定数部分が であることの証明は概略のみ述べる。

とおく（ g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて

が得られる。ここで とおくとオイラーの定数の積分表示から

となる。これと第二定理を用いて

が示せる。 より

つまり

である。再び第二定理を用いて

が得られ、第三定理が示される。

参考文献