мини|300п|Определен интеграл на функција може да се претстави како насочена плоштина на областа ограничена од нејзиниот график и хоризонталната оска; во овој пример, интегралот на помеѓу и е жолтото (−) подрачје одземено од синото (+).
Интеграл — непрекинат аналог на збир кој се користи за пресметување на плоштините, зафатнините и нивните воопштувања. Постапката на пресметување на интеграл, наречена интегрирање, е една од основните операции во инфинитезималното сметање, заедно со диференцирањето. Интегрирањето е воведено како начин за решавање на проблеми во математиката физиката, како на пример наоѓање на плоштина под крива или поместување од брзина. Подоцна нејзината примена се проширила на најразлични научни полиња.
Определен интеграл ја пресметува насочената плоштина на област на рамнина ограничена од график на дадена функција помеѓу две точки на реалната оска. Делот од рамнината над оската е позитивен, а делот под неа е негативен. Интегралите се однесуваат и на концептот примитивна функција (антиизвод), функција чиј извод е дадената функција; во тој случај тие се нарекуваат неопределени интеграли. Основната теорема на анализата ја дава врската помеѓу определено интегрирање и диференцирањето, и дава начин за пресметување на определениот интеграл на една функција кога нејзината примитивна е позната; диференцирањето и интегрирањето се инверзни операции.
Иако методите за пресметување на плоштини и зафатнини датираат уште од времето на старогрчката математика, начелата на интегрирање се поставени независно од Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц кон крајот на XVII век, кој сметал дека плоштината под крива е бесконечен збир на правоаголници со бесконечно мала ширина. Бернхард Риман подоцна дал строга дефиниција за интегралите, со постапка на приближување на плоштината на криволиниски област со поделба на областа на бесконечно тенки вертијални ленти. На почетокот на XX век Анри Лебег ја воопштил Римановата формулација со воведување на т.н. Лебегов интеграл; тој е поопшт од Римановиот по тоа што овозможува Лебегова интеграбилност на поширока класа функции.
Интегралите може да се воопштат зависно од видот на функцијата и доменот на кои се врши интегрирањето. На пример, еден криволиниски интеграл е определен за функции со две или повеќе променливи, па интервалот на итеграција се заменува со крива што поврзува две точки во просторот. Кај површински интеграл, кривата се заменува со парче од површина во тридимензионален простор.
Историја
Преданалитичко интегрирање Првиот документиран начин на систематско одредување на интеграли е методот на исцрпување на старогрчкиот астроном Евдокс и филозофот Демокрит (о. 370 п.н.е.), кој ги наоѓа плоштините и зафатнините по пат на нивно цепкање на бесконечен број на поделоци чија плоштина и зафатнина е позната.. Овој метод е понатаму разработен од Архимед во III век. п.н.е. кој го применувал за пресметка на плоштината на круг, плоштината и зафатнината на сфера, плоштината на елипса, плоштината под парабола, зафатнината на отсечок на параболоид на вртење, зафатнината на хиперболоид од вртење и плоштината на спирала..
Независно од ова, сличен метод е разработен во Кина околу III век од Лиу Хуеј, кој со него добивал плоштина на круг. Овој метод во V век го применувале таткото и син математичари Ѕу Чунгџе и Ѕу Гнег за добивање на зафатнината на сфера..
На Блискиот Исток, Алхазен (Хасан ибн ел-Хајтам, - 1040) извел формула за збирот од четврти степени.. Алхазен ги утврдил равенките за пресметување на плоштина зфатена од кружница претставена со (по денешен запис, интегралот ), за секоја дадена ненегативна целобројна вредност на . Со резултатите извршил (на денешен јазик) интегрирање на оваа функција, каде формулите на збировите од интегрални квадрати и четврти степени му овозможиле да пресмета зафатнина на параболоид..
Следниот значаен напредок во интегралното сметање се појавил дури во XVII век. Бонавентура Кавалиери со неговиот метод на неделиви и трудот на Ферма почнале да ги поставуваат темелите на современата анализа,. при што Кавалиери ги пресметал целите броеви на до степен во Кавалиериевата формула за квадратура.. Во случајот n = −1 морало да се измисли нова функција, хиперболичен логаритам, постигната со квадратура на хипербола во 1647 г.
Пнатамошните чекори се направени на почетокот на XVII век од Исак Бароу и Еванџелиста Торичели, кои први ја наговестиле врската помеѓу интегрирањето и диференцирањето. Бароу го дал првиот доказ за основната теорема на анализата.. Џон Валис го воопштил Кавалиериевиот метод, пресметувајќи интеграли на до општ степен, вклучувајќи негативни степени и дробни степени..
Лајбниц и Њутн Голем напредок во интегрирањето е постигнат во XVII век кога Лајбниц и Њутн независно ја откриле основната теорема на анализата.. Теоремата ја покажува врската помеѓу интегрирањето и диференцирањето. Оваа врска, заедно со компаративната леснотија на интегрирањето, може да се исползува за пресметување на интеграли. Поконкретно, основната теорема на анализата ни овозможува да решаваме многу поширока класа на проблеми. Подеднакво важна е опфатната математичка рамка која ја развиле Лајбниц и Њутн. Тие овозможиле прецизна анализа на функциите со непрекинати домени. Оваа рамка со време се претворила во современото инфинитезимално сметање, чиј запис за интеграли е преземен непосредно од работата на Лајбниц.
Формализација Иако Њутн и Лајбниц дале системски приод кон интегрирањето, нивната работа немала систематска строгост. Анализата застанала на поздрави нозе со развојот на граничните вредности. Интегрирањето за првпат е строго формализирано, користејќи граници, од Бернхард Риман.. Иако сите ограничени непрекинати функции по делови се Риманово интеграбилни на ограничен интервал, подоцна се разгледани поопшти функции — особено во контекст на Фурјеовата анализа — за кои не важи Римановата дефиниција, па Анри Лебег срочил поинаква дефиниција за интеграл заснована на теоријата за мерата (подгранка на реалната анализа). Биле предложени и други дефиниции за интеграл како дополнување на приодите на Риман и Лебег. Овие приоди, засновани на реалните броеви, се најзастапени денес, но постојат и алтернативни, како дефиницијата за интеграл како стандардниот дел од конечен Риманов збир, заснована на хиперреални броеви.
Историски запис Записот за неопределениот интеграл е воведен од Готфрид Вилхелм Лајбниц во 1675 г.; . Тој го усвоил симболот ∫ од од буквата ſ (долго s), земен од зборот summa (ſumma = „збир“ или „вкупно“ на латински). Современиот запис за определениот интеграл, со граници над и под знакот за интеграл прв го употребил Жозеф Фурје во Сеќавања на Француската академија околу 1819–1820 г., препечатени во книга во 1822 г.; .
Исак Њутн користел мала исправена црта над променливата за да посочи интегрирање, или пак ја ставал променливата во квадрат. Цртата лесно се помешувала со или , со што се укажувало диференцирање, а квадратите биле тешки за печатарите, па затоа овој начин не бил пошироко усвоен..
Прва употреба на поимот Поимот прв го употребил Јакоб Бернули во 1690 г. велејќи: „Ergo et horum Integralia aequantur“ („Затоа и нивните интеграли се еднакви“)..
Терминологија и запис Начелно земено, интегралот на реална функција во однос на реална променлива на интервал се запишува како
Симболот претставува интегрирање. Симболот , наречен диференцијал на променливата , укажува дела променливата на интегрирањето е . Функцијата се нарекува подинтегрална функција или интегранд, точките и се нарекуваат граници на интегрирањето, а за интегралот се вели дека е на интервалот , наречен интервал на интегрирање.. За една функција велиме дека е ако нејзиниот интеграл на нејзиниот домен е конечен. Ако се укажани граници, тогаш интегралот се нарекува определен интеграл.
Кога границите се изоставени, како во
интегралот се нарекува неопределен интеграл, кој претставува класа на функции (примитивната функција) чиј извод е подинтегралната функција.. Основната теорема за анализата ја изразува пресметката на определени интеграли со неопределени интеграли. Постојат неколку проширувања на записот за интеграли со цел да се опфати интегрирање на неограничени домени и/или во повеќе димензии.
Во напредна околина, неретко забележуваме изоставување на кога се користи само прост Риманов интеграл, или кога точниот вид на интеграл е неважен. На пример, можеме да запишеме за да ја изразиме линеарноста на интегралот, својство кое го дели со Римановиот интеграл и сите негови воопштувања..
Толкувања мини|Приближувања на интеграл на од 0 до 1, со 5 жолти десни разбивања на крајните точки и 10 зелени леви разбивања на крајните точки.|238x238пкс Интегралите се јавуваат во мноштво практични ситуации. На пример, од должината, ширината и длабочината на еден базен кој е правоаголен и има рамно дно, можеме да ја определиме зафатнината на водата што може да ја содржи, плоштината на неговата површина и должината на работ. Но ако базенот е овален и има заоблено дно, точните вредности можеме да ги добиеме само со интеграли. Во секој од двата случаја, можеме да ја поделиме бараната величина на бесконечно многу инфинитезимални парчиња, потоа да ги собереме и да добиеме прилично точна приближност.
Во друг пример, за да ја најдеме плоштината на област ограничена од графикот на функцијата помеѓу и , го делиме интервалот на пет делови (), а потоа конструираме правоаголници користејќи ја висината десно на секое парче (така, ) и ги собираме нивните плоштини за да добиеме приближна вредност
која е поголема од прецизната вредност. Од друга страна, кога ги заменуваме овие подинтервали со оние со висината лево на секое парче, добиваме премала приближна вредност: со дванаесет такви подинтервали приближената плоштина изнесува само 0,6203. Меѓутоа, ако бројот на парчиња се приближува до бесконечност, таа ќе достигне граница која е прецизната вредност на бараната плоштина (во случајов, ). Запишуваме
што значи е резултатот од пондериран збир од функциски вредности, , помножен со инфинитезималните чекорни ширини, означени со , на интервалот .
Формални дефиниции мини|десно|Конвергенција на Риманови збирови|237x237пкс Постојат многу начини ан формално дефинирање на интеграл, и не сите се еквивалентни. Разликата претежно се состои во разни специјални случаи кои не се интеграбилни според други дефиниции, но понекогаш се од педагошки причини. Најупотребувани дефиниции се Римановите и Лебеговите интеграли.
Риманов интеграл
Римановиот интеграл се дефинира преку Риманови збирови на функции во однос на означени разбивања на интервал.. Означено разбивање на еден затворен интервал на реалната оска е конечна низа
Ова го разбива интервалот на подинтервали индексирани со , каде секој е „означен“ со дадена точка . Римановиот збир на функција во однос на такво означено разбивање се дефинира како
така, секој член на збирот е плоштината на правоаголник со висина еднаква на функциската вредност во избраната точка на дадениот подинтервал, и ширина иста како ширината на подинтервалот, . Нормата на такво означено разбивање е ширината на најголемиот подинтервал образуван со разбивањето, . Римановиот интеграл на функција на интервалот е еднаков на ако:.
За сите постои таков што, за секое означено разбивање со норма помала од ,
Кога избраните ознаки се максималната (односно минимална) вредност на функцијата во секој интервал, Римановиот збир станува горен (односно долен) Дарбуов збир, што укажува на блиска врска помеѓу Римановиот и Дарбуовиот интеграл.
Лебегов интеграл
мини|264x264п|Лебегово интегрирање