десно|мини|455x455пкс| Полето на наклон на .
Сината, црвената и зелената линија се:, , и , соодветно. Поле на наклон (наречено и поле на насока) е графички приказ што ги претставува решенијата на диференцијална равенка од прв ред за скаларна функција. Решенијата на полето на наклон се функциите што се нацртани како непрекинати криви. Полето на наклон го прикажува наклонот определен со диференцијалната равенка во одредени вертикални и хоризонтални растојанија на -рамнината и може да се користи за да се одреди приближниот наклон на тангентата во дадена точка на крива, при што кривата е решение на диференцијалната равенка.
Дефиниција Полето на наклон може да се дефинира за следните типови диференцијални равенки:
што геометриски може да се толкува како задавање на наклонот на тангентата на графикот на решението на диференцијалната равенка (интегралната крива) во секоја точка како функција од координатите на точката.
Полето на наклон може да се разгледува како начин за прикажување на реална функција од две реални променливи, , преку график во рамнината. Поточно, за даден пар , се црта векторот со компоненти во точката во -рамнината. Понекогаш, векторот е нормиран за да се направи графикот попрегледен. Множеството од парови (), во вид на правоаголна мрежа, се користи обично како подлога врз која се цртаат векторите .
Изоклина (семејство од линии со ист наклон) често се користи како дополнување на полето на наклон. За равенка од облик , изоклина е кривата во -рамнина што се добива со изедначување на со константа.
Општ случај на систем од диференцијални равенки За даден систем од диференцијални равенки,
полето на наклон е низа од ознаки на наклон во фазниот простор (во произволен број димензии, зависно од бројот на релевантни променливи; на пример, две во случај на линеарна ОДР од прв ред, како што се гледа нa сликата десно). Секоја ознака на наклон е центрирана во точка и е паралелна со векторот
Бројот, местоположбата и должината на ознаките за наклон можат да бидат произволни. Местоположбите на ознаките на наклон обично се избираат така што точките создаваат униформна мрежа. Стандардниот случај, опишан погоре, е за . Општиот случај на полето на наклон за системите од диференцијални равенки, за , тешко е да се визуелизира.
Општа примена Со компјутери, комплицираните полиња на наклон можат да бидат создадени брзо и без мака. Затоа единствената практична употреба на полињата на наклон е да се добие прва претстава какво би требало да биде решението, пред да се пристапи кон барање на експлицитното општо решение. Секако, со компјутерите таквото решение може да биде одредено, доколку тоа постои.
Ако нема експлицитно општо решение, компјутерите можат да користат полиња на наклон (дури и ако не се прикажани) за нумеричко наоѓање на графички решенија. Примери за такви рутини се Ојлеровиот метод, или подобро, методите Рунге-Кута.
Софтвер за цртање на полиња на наклон Различни софтверски пакети можат да исцртаат полиња на наклон.
Код на полето за насока во GNU Octave / MATLAB funn = @(x, y)y-x; % function f(x, y) = y-x [x, y] = meshgrid(-5:0.5:5); % intervals for x and y slopes = funn(x, y); % matrix of slope values dy = slopes ./ sqrt(1 + slopes.^2); % normalize the line element... dx = ones(length(dy)) ./ sqrt(1 + slopes.^2); % ...magnitudes for dy and dx h = quiver(x, y, dx, dy, 0.5); % plot the direction field set(h, "maxheadsize", 0.1); % alter head size
Пример код за Maxima /* поле за y'=xy (кликнете на точка за да добиете интегрална крива). Plotdf бара Xmaxima */ plotdf( x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);
Пример код за Mathematica (* field for y'=xy *) VectorPlot[{1,x*y},{x,-2,2},{y,-2,2}]
Пример код за SageMath Извор:var('x,y') plot_slope_field(x*y, (x,0,-5), (y,-5,5))
Примери
Поврзано
Примери за диференцијални равенки Векторско поле Лапласова трансформација применета во диференцијални равенки Список на теми за динамички системи и диференцијални равенки Квалитативна теорија на диференцијални равенки
Наводи
Библиографија
Бланшард, Пол; Девани, Роберт Л.; и Хол, Глен Р. (2002). Диференцијални равенки (2-ро издание). Брукс/Коул: Томпсон Леаринг.
Надворешни врски
Цртач на поле на наклон (Java) Цртач на поле на наклон (JavaScript)
Категорија:Диференцијални равенки Категорија:Инфинитезимално сметање Категорија:Страници со непрегледан превод