Наизменичен ред — бесконечен ред во математиката од обликот:
каде што an ≥ 0 (или an ≤ 0) за сите n. Конечниот збир на редот од овој облик се нарекува „наизменичен збир“.
Лајбницов критериум
Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, наизменичниот ред конвергира ако членовите an монотоно конвергираат до 0.
Доказ Да претпоставиме дека низата конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако е непарен број , проценката може да се добие преку следнава пресметка:
Бидејќи е монотоно опаѓачка низа, членовите се негативни. На тој начин се добива последното неравенство . На сличен начин може да се докаже дека . Бидејќи конвергира до , делумните суми сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај да е парен број, доказот е ист.
Конвергенција Апсолутна конвергенција Редот конвергира апсолутно ако редот конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема: Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.
Доказ Да претпоставиме дека редот е апсолутно конвергентен. Тогаш, е конвергентен и следува дека , исто така, конвергира. Бидејќи , редот конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот конвергира како разлика од двата конвергентни реда, .
Условна конвергенција Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.
На приер, хармонкискиот ред:
дивергира, додека наизменичниот облик од редот:
конвергира според тестот за наизменични редови.
Примери Едноставен пример на наизменичен ред е хармонискиот ред со променлив знак:
во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:
Веројатно најпознати наизменични редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:
Поврзано Ред (математика)
Наводи
Категорија:Математички редови Категорија:Реална анализа