Податотека:Gen_bijection.svgБиекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Биективна функција или биекција — функција f : A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Биекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.

Поимот биективност и сродните поими сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) и група други, претежно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. Податотека:Gen_not_surjection_not_injection.svgНе е биекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.) Основни својства Формално имаме:   е биективна функција ако за секој    постои точно еден    таков што   Елементот се вика претслика на елементот . Функција е биекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Биекција значи точно една претслика.

Кардиналност Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку биекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност. Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои биекција помеѓу нив. (Види кардиналност.) Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:A → B e биекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција. Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи. Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e биекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Биекции и инверзни функции

Биекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : A → B е биективна функција. Инверзната функција на биективна функција f е (биективна) функција g : B → A дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени. Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.) Една функција има инверзна функција ако и само ако е биекција.

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со   се означува инверзната функција на функцијата f, а со се означува реципрочната вредност на бројот x.

Една од најважните особини на биективните функции е тоа дека инверзна релација на биективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Примери Елементарни функции Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.) Графичко толкување: функцијата f е биекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка. Алгебарско толкување: функцијата f е биекција ако за кој било yo постои xo таков што yo=f(xo) и ако f(xo)=f(x1) значи xo=x1. </div>

Пример: Линеарната функција на која било коса права е биективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е биекција. (Види линеарна функција.) Слика 1. Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција. Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е биекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива. Инверзна функција е 3-ти корен, односно f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција  f(x) = x2 не е биекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива биекција (види примери подолу).

Биекции и нивните инверзни функции Нека f(x):A→B каде што A и B се подмножества на ℝ. Да претпоставиме дека f не е биекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е биекцијата (на сликата на околината). Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)   каде што   е биекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)   каде што   е биекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x2. Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е биекција или не, потребно е да се знае: доменот на функцијата машината на функцијата кодоменот на функцијата Пример: Нека машината биде f(x)=x². Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа, оваа иста машина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и биекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)   каде што   е биекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ   каде што   е биекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ax. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Биекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка. 135px1. Биекција. Сите коси прави се биекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0. 220px2. Биекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. 220px3. Не е биекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурјекција, ниту инјекција).220px4. Биекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (дебела зелена). 220px5. Биекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена). 220px6. Биекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x</sup> (дебела зелена).

Наводи

Поврзано Функција Сурјективна функција Инјективна функција Инверзна функција

Надворешни врски интерактивен квиз интерактивно

Категорија:Математика Категорија:Функции Категорија:Алгебра Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ