Лоренцови трансформации — трансформации именувани според холандскиот физичар Хендрик Лоренц. Тие се резултат на обидите на Лоренц и останатите да објаснат како брзината на светлината била набљудувана независно од појдовниот систем, и да ги разберат симетриите на законите на електромагнетизмот. Лоренцовите трансформации се во согласност со Специјалната теорија за релативноста, но биле изведени пред Специјалната теорија за релативноста.
Трансформаците објаснуваат како мерењата поврзани со настаните на двајца набљудувачи во инерцијалните системи движејќи се со постојана брзина еден кон друг, се поврзани. Тие го одразуваат фактот дека набљудувачите движејќи се со различна брзина можат да измерат различни растојанија, дилатација на времето, па дури и различен тек на настани. Тие ги истиснуваат Галилеевите трансформации на Њутновата физика, која ги презема апсолутниот простор и време. Галилеевите трансформации ја претставуваат приближната релативна брзина која е многу помала од брзината на светлината.
Лоренцовата трансформација е линиска трансформација. Може да го вклучува вртењето во просторот; безвртежната Лоренцова трансформација се нарекува Лоренцов поттик.
Во Минковскиевиот простор, Лоренцивите трансформации го зачувуваат време-просторниот интервал помеѓу двата настани. Тие ја објаснуваат само трансформацијата во која време-просторниот настан од каде што се започнува е неподвижен. Може да се сметаат за хиперболични вртења во Минковскиевиот простор. Поопштиот сет на трансформации кои, исто така, вклучуваат поместувања се познати како Поенкареова група.
Историја
Многу физичари, вклучувајќи ги Волдемар Воигт, Џорџ Фицџералд, Џозеф Лармор и Хендрик Лоренц дискутирале за физиката опфатена од овие равенки уште од 1887 година. На почетокот на 1889 година, Оливер Хевисајд покажал од Максвеловите равенки дека електричното поле кое има сферична распределба на полнежот, не треба да има сферична симетрија кога полнежот е во движење релативно на етерот. Тогаш Фитцџералд претпоставил дека резултатот на Хевисајдовата дисторзија би можела да се примени во теоријата на меѓумолекулските сили. Неколку месеци подоцна, Фитцџералд го објавил својот труд во кој телата во движење се контрахирани, со цел да го објасни збунувачкиот исход од 1887 година од Мајкелсон-Морлиевиот обид за постоењето на етерот. Во 1892 година, Лоренц ја претставил истата идеја, но на подетален начин, која била наречена Фитцџералд-Лоренцова хипотеза за контракцијата. За нивното објаснување се знаело пред 1905 година.
Лоренц (1892-1904) и Лармор (1897-1900) кои верувале во постоењето на етерот, биле во потрага на трансформација според која Максвеловите равенки ќе бидат непроменливи, кога се премине од етерот во подвижен систем. Тие ја прошириле Фицџералд-Лоренцовата хипотеза на контракцијата и откриле дека временските интервали исто така треба да бидат изменети („месно време“).Анри Поенкаре дал физичка интерпретација за месното време како последица на синхронизацијата на часовникот, под претпоставка дека брзината на светлината е постојана во системите на движење. Ламор се смета за првиот кој ја разбрал временската дилатација својствена во неговите равенки.
Во 1905 година, Поенкаре бил првиот кој препознал дека трансформацијата има својства на математичка група, и ја именувал според Лоренц.The reference is within the following paper: Подоцна во истата година, Алберт Ајнштајн ја објавил Специјалната теорија за релативноста, која произлегува од Лоренцовите трансформации под претпоставките на принципот на релативноста и постојаноста на брзината на светлината во сите инерцијални појдовни системи, и со напуштање на механичкиот етер.
Изведување
Од Ајнштајновиот втор постулат за релативност следува:
во сите појдовни системи за настани поврзани со светлосни сигнали. Настан е нешто што се случува во одредено место и во одредено време и во сите инерцијални појдовни системи може да биде претставен со временската координата t при што се користат Декартови координати: . Интервалот помеѓу било кои два појдовни системи е непроменлив. Во трансформацијата:
каде се координати во време-просторот и се користат за опишат настан во еден појдовен систем, и се координати во друг појдовен систем. Се воочува дека:
Гледано како линиско решение:
Врската помеѓу време-просторните координати со прим и без прим се всушност Лоренцови трансформации, секоја координата во еден појдовен систем е функција од сите координати од другиот појдовен систем, а инверзните функции се инверзните трансформации.
Лоренцовите трансформации се линиски трансформации и можат да се претстават со матрици.
Поттик
Подолу, Лоренцовите трансформации се наречени "поттици" во наведените насоки. "Поттик" значи релативно движење со константа брзина.
Поттик во Декартови насоки
Параметризирање на брзината
„Неподвижен“ набљудувач во системот ги опишува настаните со координати . Друг систем се движи со брзина релативна на , и набљудувачот во овој „движечки“ систем ги опишува настаните со координати .
Координатните оски во секој систем се парални ( и оските се паралелни, и оските се паралелни, и оските се паралелни), остануваат заемно нормални и релативното движење по должина се совпаѓа со оската. Кога , почетокот на двата координатни системи е ист, .
Која е промената помеѓу овие координатни системи? Ако набљудувач во евидентира настан , потоа набљудувач во го евидинтира истиот настан со координати
каде релативната брзина помеѓу системите во -насоката, е брзината на светлината, и
(мало гама) е Лоренцовиот фактор.
и вредоста на останува непроменета.
За просторни разлики и временски интервали, што следуваат од линераноста на Лоренцовите трансформации дека доколку се одберат две вредности од координатите за просторот и времето, може да се запишат Лоренцовите трансформации за секоја од нив, а потоа одземат за да се добијат разликите од Лоренцовите трансформации;
со инверзна релација
каде (Делта) укажува на разликата на величините, пр. за двете вредности на координатите итн.
Лоренцовите трансформации имаат две дејства кои иако се контрадикторни, се точни во склоп на специјалната теорија за релативноста.
Временска дилатација. Во систем со поттик релативен на друг систем , временските интервали се подолги во отколку во . Ако временските интервали се мерени во иста точка во , така што , тогаш . Контракција на должината. Во систем со поттик релативен на друг систем , должините на просторните интервали се пократки во отколку во . Ако просторната должина се мери во еден момент од времето во , така што , тогаш .
Понекош е полесно да се користи (мало бета) наместо , така што
што покажува појасна симетрија во поттикот. Од дозволениот опсег на и дефиницијата на , дозволените вредности за се . Користењето на и е стандард низ литературата.
Горенаведените равенки важат само за поттик во -насока. За поттик кон оска, со користење на ,
и за поттик кон оска
Инверзните трансформации се добиваат со заменување на прим и не-прим залихите и негирање на .
Бидејќи Лоренцовите трансформации се линеарни трансформации, може да се напишат во матрици. Поттик кон оска со брзина , и користење на
поттик кон оска
и поттик кон оска
Инверзните трансформации на матрицисе со поттик кон оска
и така натаму за останатите насоки.
Да замислиме дека имаме три системи наместо два. Ако системот е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска, и друг систем кој е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
Ова важи ако се зголемува должината на истите насоки како и да се присутни (не само на заеднички насоки во ист систем, но во сите насоки).
Замисли пак дека има три системи наместо два, но овој пат ако системот е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, и друг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
и релацијата помеѓу системите и е
Ако системот е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска, и дриг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
и релацијата помеѓу системите и е
што повторно не е единствен поттик, туку поттик пред или после едно свртување.
Параметризација на брзината
Лоренцовата трансформација може да се добие од начин што наликувана кружно вртење во 3Д просторот користејки ги хиперобличните функции. За поттикот во насока, резултатите се
каде (мало зета) е параметар наречен брзина (се користат и други ознаки, како ). Давајќи ја големата сличност на вртењата во просторните координати на 3Д просторот (во Декартовиот систем, или во Декартовите оски), Лоренцовата трансформација ќе претставува хиперболично вртење од време-просторни координати во 4Д Минковскиев простор. Параметарот претставува хиперболичен агол на вртење, аналогно со обичниот агол во кружно вртење. Оваа трансформација може да биде илустрирана со Минковскиев дијаграм.
Хиперболичната функција произлегува од разликата помеѓу квадратите од времето и просторните координати во равенката за светлосен пулс, во согласност со идентитетот
Користејќи ја дефиницијата
последива од овие две хиперболичен формули е идентитетот што го прави Лоренцовиот фактор
Споредувајќи ја Лоренцовата трансформација во одност на релативната брзина или користејќи ги горенаведените формули, поврзаноста помеѓу , , и се
Земајќи ги инверзните хиперболичен тангенти ја даваат брзината
Бидејќи , следува . Позитивна брзина е релативно движење (кон позитивната страна на оска), нулта брзина не е релативно движење, додека негативна брзина е релативно движење во спротивна насока (кон негативната страна на оска).
Геометриското значење на хиперболитичката функција може да биде забележана ако земеме или во трансформацијата. Од тие, една ќе произлезе со хиперболичен кривини од константни координатни величини но различна која ги параметризира кривините. Спротивно на и оските може да се конструираат различни координати, но константа .
Инверзните трансформации во параметризација на брзината се правопропорционални; како и размена на прим и неприм количествата, негираната брзината е еднаква со негативната релативна брзина, која ја следи релацијата помеѓу и . Затоа,
Инверзната трансформација може слично да се прикаже со разгледување на случаите кога и .
Односите на брзината може да се заменат со зголемени матрици насочени кон Декартовите насоки во претходната секција. Дополнителна информација е дека брзини ќе се додадат за да се добие делокупната брзина, наспроти релативните брзини. Ако систем е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска и друг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, па така
потоа е брзина од целокупното зголемување на релативно на ,
и релативните брзини се поврзани со брзините со
Ова важи и ако зголемувањата се насочени во иста насока како и да се тука. Покрај тоа, хиперболиченот идентитет
се совпаѓа со резултантната релативна брзина од двете релативни брзини насочени во иста насока.
Поттик во сите насоки
Параметризација на насоката на брзината
Поттик во арбитарна насока зависи од целосната релативна векторска брзина која има величина . Набљудувач во систем набљудува како се движи со релативна брзина , додека набљудувач во набљудува како се движи со релативна брзина . Координатните оски во секој систем се паралелни и ортогонални. Величината од релативната брзина не може да биде еднаква или да надмине , па затоа . Векторот аналогно од е и соодветно неговата величина не може да биде еднаква или да надмине 1, па затоа .
Повторно се претпоставува стандардната конфигурација, па затоа , системите се совпаѓаат на почетокот, .
За трансформациите во , и оските, координатите нормални на релативното движење остануваат непроменети, додека тие паралелни на релативното движење се менуваат заедно со временската координата. Поради оваа причина, погодно е да се распадне просторниот положбенен вектор кој се мери во , и се мери во , секој во компоненти нормално и паралелно на ,
каде ‖ претставува "паралелно" до и ⊥ претставува "нормално" до .