мини|Пешаци на јаже го користат моментот на инерција на долги прачки за рамнотежа додека одат по јажето. Семјуел Диксон ја преминува реката Нијагара во 1890 година. Моментот на инерција, инаку познат како аголна маса или вртежна инерција, на цврсто тело е тензор кој го одредува моментот на силата потребен за саканото аголно забрзување околу вртежната оска; слично како масата ја одредува силата потребна за посакуваното забрзување. Тоа зависи од распределбата на масата на телото и одбраната оска, со поголеми моменти кои бараат поголем вртежен момент за промена на стапката на ротација на телото. Тоа е екстензивно (адитивно) својство: за точка маса маса на инерција е само маса на квадрат на нормално растојание до оската на вртење. Моментот на инерција на композитниот систем на кругот е збирот на моментите на инерција на нејзините составни потсистеми (сите земени за истата оска). Неговата наједноставна дефиниција е вториот момент на маса во однос на растојанието од оската. За ограничените тела да се ротираат во рамнина, важно е само нивниот момент на инерција околу оската нормална на рамнината, скаларната вредност. За телата кои слободно можат да ротираат во три димензии, нивните моменти може да се опишат со симетрична 3 × 3 матрица, со множество на меѓусебно нормални главни оски за кои оваа матрица е дијагонална, а вртежите околу оските делуваат независно еден од друг.
Вовед Кога телото може слободно да ротира околу оска, мора да се примени вртежен момент за да се смени аголниот момент. Количината на вртежен момент што е потребна за да предизвика било кое аголно забрзување (стапката на промена на аголната брзина) е пропорционална на моментот на инерција на телото. Момент на инерција може да се изрази во единици од килограм метар квадрат (kg·m2) во единици на SI и квадратни (квадратни-секунди) квадратни (lbf · ft · s2) во империјални или американски единици.
Моментот на инерција ја игра улогата во вртежната кинетика што масата (инерција) игра во линеарна кинетика - и го карактеризираат отпорноста на телото на промени во движењето. Моментот на инерција зависи од тоа колку масата се дистрибуира околу оската на вртење и ќе варира во зависност од избраната оска. За маса-како маса, моментот на инерција околу некоја оска е даден со , каде што r е растојанието од точката од оската, и m е масата. За проширено цврсто тело, моментот на инерција е само збир на сите мали парчиња маса помножени со квадратот на нивните растојанија од оската за која станува збор. За проширено тело со редовна форма и еднаква густина, оваа збирка понекогаш произведува едноставен израз кој зависи од димензиите, обликот и вкупната маса на објектот.
Во 1673 година, Кристијан Хајгенс го претстави овој параметар во неговата студија за осцилацијата на едно тело висечко од столб, познато како соединето нишало. Терминот момент на инерција бил воведен од Леонард Ојлер во неговата книга Theoria motus corporum solidumum seu rigidorum во 1765, From page 166: "Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis respectu eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab axe multiplicentur." (Definition 7. 422. A body's moment of inertia with respect to any axis is the sum of all of the products, which arise, if the individual elements of the body are multiplied by the square of their distances from the axis.) и е вграден во вториот закон на Ојлер.
Природната честота на осцилација на сложеното нишало се добива од односот на вртежниот момент наметнат од гравитацијата врз масата на нишалото до отпорноста на забрзувањето дефинирана со моментот на инерција. Споредба на оваа природна честота со онаа на едноставното нишало кое се состои од една единствена точка на маса обезбедува математичка формулација за момент на инерција на проширено тело.
Моментот на инерција, исто така, се појавува во моментот на импулсот, кинетичката енергија и во Њутновите закони на движење за круто тело како физички параметар кој ги комбинира својата форма и маса. Постои интересна разлика во начинот на кој моментот на инерција се појавува во рамни и просторно движење. Плодното движење има еден скалар кој го дефинира моментот на инерција, додека за просторно движење истите пресметки даваат матрица од 3 × 3 моменти на инерција, наречена инерцијална матрица или инертен тензор.
Моментот на инерција на вртечкиот замаец се користи во машина за да се спротивстави на промените во применетиот вртежен момент за да се изедначи вртежното производство. Моментот на инерција на авионот околу неговата надолжна, хоризонтална и вертикална оска определува како управувачките сили на контролните површини на нејзините крила, лифтови и опашка влијаат на рамнината во тркалање, висина и виткање.
Дефиниција
Моментот на инерција е дефиниран како однос на моментот на импулсот на системот на неговата аголна брзина околу главната оска, што е:
Ако аголниот моментум на системот е константен, тогаш кога моментот на инерција станува помал, аголната брзина мора да се зголеми. Ова се случува кога вртењето на лизгачите се повлекува во нивните раширени раце или нуркачите ги закопуваат нивните тела во позиција за навивање за време на нуркање, за да се вртат побрзо.
Ако обликот на телото не се промени, тогаш неговиот момент на инерција се појавува во Њутновиот закон на движење како однос на применетиот вртежен момент на телото до аголното забрзување околу главната оска, што е
.
За едноставно нишало, оваа дефиниција дава формула за моментот на инерција во однос на масата на матичниот агол и нејзиното растојание од клучната точка како,
.
Така, моментот на инерција зависи од масата на телото и неговата геометрија или форма, како што е дефинирано со растојанието на оската на вртење.
Оваа едноставна формула е генерализирана за да го дефинира моментот на инерција на произволно обликуваното тело како збир на сите елементарни точки маси секој помножен со квадратот на нејзиното нормално растојание на оската .
Општо земено, со оглед на објект на маса , делотворен полупречник може да се дефинира за оската преку нејзиниот центар на маса, со таква вредност дека нејзиниот момент на инерција е
,
каде е познат како жироскопски полупречник.
Примери
Едноставно нишало Моментот на инерција може да се мери со едноставно нишало, бидејќи тоа е отпорност на ротација предизвикана од гравитацијата. Математички, моментот на инерција на нишалото е односот на вртежниот момент кој се должи на гравитацијата околу вртењето на нишалото до неговото аголно забрзување околу таа точка на вртење. За едноставно нишало, ова е резултат на производ на масата на честичката со квадратот на растојанието на клучот, што е
.
Ова може да се прикаже на следниов начин: Силата на гравитацијата на масата на едноставното нишало генерира вртежен момент околу оската нормална на рамнината на движењето на нишалото. Тука е векторот на растојанието, нормалниот кон и од силата на оската на вртежниот момент, и сила на масата. Поврзан со овој вртежен момент е аголно забрзување, , на низата и масата околу оваа оска. Бидејќи масата е ограничена на круг, тангентното забрзување на масата е . Бидејќи :
каде е единичен вектор нормален на рамнината на нишалото. (Вториот до последен чекор ја користи векторското тројно проширување на производот со нормалност на и ) Количината е момент на инерција на оваа единствена маса околу точка на вртење.
Количината се појавува и во аголниот момент на едноставно нишало, кое се пресметува од брзината на масата на нишалото околу оската, каде што е аголната брзина на масата околу точка на вртење. Овој аголен импулс е даден од
користејќи слични деривации на претходната равенка.
Слично на тоа, кинетичката енергија на масовната низа е дефинирана со брзината на нишалото околу вртењето за да се добие
.
Ова покажува дека количината е како масата се комбинира со обликот на телото за да се дефинира вртежната инерција. Моментот на инерција на произволно обликуваното тело е збирот на вредностите за сите елементи на масата во телото.
Физичко нишало лево|мини|Нишала употребени во Менденхаловиот апарат за гравиметрија, објавен во научно списание од 1897 година. Преносливиот гравиметер развиен во 1890 година од страна на Томас К. Менденхал обезбеди најточни релативни мерења на локалното гравитациско поле на Земјата.Физичко нишало е тело формирано од збир на честички со континуирана форма кои ротираат круто околу стожерот. Нејзиниот момент на инерција е збирот на моментите на инерција на секоја од честичките од кои е составен. Природната честота
од сложено нишало зависи од неговиот момент на инерција, ,
каде е масата на објектот, е локално забрзување на гравитацијата, и е растојанието од точка на вртење до центарот на масата на објектот. Мерењето на оваа честота на осцилации преку мали аголни поместувања обезбедува ефикасен начин за мерење на моментот на инерција на телото.
Така, за да се одреди моментот на инерција на телото, едноставно го суспендира од удобна точка на вртење така што слободно се ниша во рамнина нормална на правецот на посакуваниот момент на инерција, потоа ја мери неговата природна честота или период на осцилација (), за да се добие
каде што е периодот (времетраењето) на осцилацијата (обично во просек во текот на повеќе периоди). Моментот на инерција на телото околу неговиот центар на маса,, потоа се пресметува со употреба на теорема за паралелна оска за да биде
каде е масата на телото и р е растојанието од вртежната точка до центарот на масата . Моментот на инерција на телото често се дефинира во однос на неговиот жироскопски полупречник, кој е полупречник на прстен со еднаква маса околу центарот на масата на телото што го има истиот момент на инерција. Полупречник на гурација к се пресметува од моментот на инерција на телото и маса како должина,
Центар на осцилација Едноставно нишало кое ја има истата природна честота како сложено нишало ја дефинира должината од вртење до точка наречена центар на осцилација на сложеното нишало. Оваа точка, исто така, одговара на центарот на перкусии. Должина се определува од формулата,
или
На нишалото за секунда, кое овозможува "крлеж" и "тока" на дедо часовник, трае една секунда за да се сврти од рамо до рамо. Ова е период од две секунди, или природна честота на за нишалото. Во овој случај, растојанието до центарот на осцилацијата,, може да се пресмета да биде
Забележете дека растојанието до центарот на осцилацијата на секундарното нишало мора да се прилагоди за да се приспособат на различни вредности за локалното забрзување на гравитацијата. Катеролово нишало е сложено нишало кое го користи овој својство за мерење на локалното забрзување на гравитацијата и се нарекува гравиметар.
Мерење на моментот на инерција Моментот на инерција на комплексен систем, како што е возило или авион околу неговата вертикална оска, може да се мери со суспендирање на системот од три точки за да се формира трифиларно нишало. Трифиларното нишало е платформа поддржана од три жици дизајнирани да осцилираат во торзија околу вертикалната централна оска.H. Williams, Measuring the inertia tensor , presented at the IMA Mathematics 2007 Conference. Периодот на осцилација на трифиларното нишало го дава моментот на инерција на системот.Gracey, William, The experimental determination of the moments of inertia of airplanes by a simplified compound-pendulum method, NACA Technical Note No. 1629 , 1948
Движење во фиксна рамнина
Точкеста маса мини|Четири објекти со идентични маси и полупречници, се тркалаат по рамнина додека се тркалаат без лизгање.Времето за секој предмет да стигне до завршната линија зависи од нивниот момент на инерција.|алт=|216x216пкс