Во хидродинамиката, Ејровата бранова теорија (често наречена линеарна бранова теорија) дава линеаризиран опис на ширењето на гравитациските бранови на површината на хомоген флуиден слој. Теоријата претпоставува дека флуидниот слој има рамномерна средна длабочина и дека протокот на течноста е невидлив, некомпресибилен и иротационен. Оваа теорија првпат била објавена, во правилна форма, од Џорџ Бидел Ејри во 19 век.Craik (2004).

Теоријата често се применува во океанското инженерство и крајбрежното инженерство за моделирање на случајни морски состојби - дава опис на кинематиката на брановите и динамиката на доволно висока точност за многу цели.Dean & Dalrymple (1991). Понатаму, неколку нелинеарни својства од втор ред на површинските гравитациски бранови и нивното ширење, може да се проценат од неговите резултати.Phillips (1977), §3.2, pp. 37–43 and §3.6, pp. 60–69. Ејровата бранова теорија е исто така добра апроксимација за брановите на цунами во океанот.

Оваа линеарна теорија често се користи за да се добие брза и груба проценка на одликите на брановите и нивните ефекти. Ова приближување е точно за мали соодноси на висината на бранот до длабочината на водата (за бранови во плитка вода) и висината на бранот до брановата должина (за брановите во длабока вода).

Опис десно|мини| Одлики на бранови. десно|мини| Дисперзија на гравитациските бранови на течна површина. Фазна и групна брзина Теоријата на воздушни бранови користи пристап на потенцијален проток (или брзински потенцијал) за да го опише движењето на гравитациските бранови на флуидната површина. Употребата на (невидлив и иротационен) потенцијален проток во водните бранови е извонредно успешна, со оглед на неуспехот да опише многу други текови на течност каде што често е неопходно да се земат предвид вискозноста, виртичноста, турбуленцијата или раздвојувањето на протокот. Ова се должи на фактот дека за осцилаторниот дел од движењето на флуидот, вителот предизвикан од бранот е ограничен на некои тенки осцилаторни Стоуксови гранични слоеви.

Ејровата бранова теорија често се користи во океанското инженерство и крајбрежното инженерство. Особено за случајни бранови, понекогаш наречени бранови турбуленции, еволуцијата на брановата статистика - вклучувајќи го брановиот спектар - се предвидува добро на не премногу долги растојанија (во однос на брановите должини) и во не премногу плитка вода. Дифракцијата е еден од брановите ефекти што може да се опише со теоријата за бранови во воздух. Понатаму, со користење на приближувањето на WKBJ, може да се предвидат брановидни бранови и прекршување.

Претходните обиди да се опишат површинските гравитациски бранови користејќи потенцијален тек биле направени од, меѓу другите, Лаплас, Поасон, Коши и Келанд. Но, Ејри бил првиот што ја објавил точната изведба и формулација во 1841 година.Craik (2004). Набргу потоа, во 1847 година, линеарната теорија на Ејри била проширена од Стоукс за нелинеарно браново движење - познато како Стоуксова бранова теорија - точно до трет ред во брановата стрмност.Stokes (1847). Дури и пред линеарната теорија на Ејри, Герстнер извел теорија на нелинеарни трохоидни бранови во 1802 година, која сепак не е иротациона.

Ејровата бранова теорија е линеарна теорија за ширење на брановите на површината на потенцијалниот тек и над хоризонталното дно. Висината на слободната површина на една бранова компонента е синусоидна, како функција на хоризонталната положба и времето :

каде

е замав на бранот во метри, е функција, k е аголниот бранов број во радијани по метар, поврзан со брановата должина λ за , е аголна честота во радијани во секунда, поврзана со периодот T и честотата f со .

Брановите се шират по површината на водата со фазна брзина :

Аголниот бранов број и честотата не се независни параметри (а со тоа и брановата должина и периодот не се независни), туку се споени. Површинските гравитациски бранови на течност се дисперзивни бранови - што покажуваат дисперзија на честотата - што значи дека секој брановиден број има своја честота и брзина на фаза.

Во инженерството, висината - разликата во височината помеѓу гребенот и коритото - често се користи:

валидни во конкретниот случај на линеарни периодични бранови. лево|мини|400x400пкс| Орбитално движење под линеарни бранови. Жолтите точки ја означуваат моменталната положба на течните честички на нивните (портокалови) орбити. Црните точки се центри на орбитите. Под површината има флуидно движење поврзано со движењето на слободната површина. Додека површинската височина покажува бран кој се шири, честичките на течноста се во орбитално движење. Во рамките на теоријата на Воздушните бранови, орбитите се затворени кривини: кругови во длабока вода и елипси во конечна длабочина - при што елипсите стануваат порамни во близина на дното на флуидниот слој. Така, додека бранот се шири, честичките на течноста само орбитираат (осцилираат) околу нивната просечна положба. Со движењето на брановите кои се шират, честичките од течноста пренесуваат енергија во насока на ширење на бранот, без да имаат средна брзина. Пречникот на орбитите се намалува со длабочината под слободната површина. Во длабока вода, пречникот на орбитата е намален на 4% од вредноста на нејзината слободна површина на длабочина од половина бранова должина.

На сличен начин, постои и осцилација на притисокот под слободната површина, при што осцилации на притисокот предизвикани од бранови се намалуваат со длабочина под слободната површина.

Математичка формулација на брановото движење

Формулација на проблемот со протокот Брановите се шират во хоризонтална насока, со координата , и домен на течност врзан горе со слободна површина на , при што вертикалната координата (позитивна во насока нагоре) и е време.For the equations, solution and resulting approximations in deep and shallow water, see Dingemans (1997), Part 1, §2.1, pp. 38–45. Or: Phillips (1977), pp. 36–45. Нивото одговара на средната површинска кота. Непропустливото корито под флуидниот слој е на . Понатаму, се претпоставува дека протокот е некомпресибилен и иротациски - добра апроксимација на протокот во внатрешноста на течноста за бранови на течна површина - и потенцијалната теорија може да се користи за да се опише протокот. Потенцијалот за брзина е поврзан со компонентите на брзината и во хоризонталните () и вертикалните () насоки со:

Потоа, поради равенката на континуитет за некомпресибилен проток, потенцијалот треба да ја задоволи Лапласовата равенка :

Потребни се гранични услови кај слободната површина за да се затвори системот на равенки. За нивно формулирање во рамките на линеарната теорија, потребно е да се определи каква е основната состојба (или решение од нула ред) на протокот. Овде, се претпостава дека основната состојба е мирување, што значи дека средните брзини на проток се нула.

Во случај на длабока вода – под која се подразбира бесконечна длабочина на вода, од математичка гледна точка – брзините на протокот треба да одат на нула во границата бидејќи вертикалната координата оди до минус бесконечност: .

На слободната површина, за бесконечно мали бранови, вертикалното движење на протокот треба да биде еднакво на вертикалната брзина на слободната површина. Ова води до кинематска гранична состојба на слободна површина:

Ако висината на слободната површина е позната функција, тоа би било доволно за да се реши проблемот со протокот. Сепак, површинската кота е дополнителна непозната, за која е потребна дополнителна гранична состојба. Ова е обезбедено од Бернулиовата равенка за нестабилен потенцијален тек. Притисокот над слободната површина се претпоставува дека е константен. Овој постојан притисок се зема еднаков на нула, без губење на општоста, бидејќи нивото на таков постојан притисок не го менува протокот. По линеаризацијата, ова ја дава динамичната гранична состојба на слободна површина:

Бидејќи ова е линеарна теорија, и во граничните услови на слободна површина - кинематичка и динамичка, равенките (3) и (4) - вредноста на и на фиксно средно ниво се користи

Решение за прогресивен монохроматски бран За бран кој се шири со една честота - монохроматски бран - површинската кота е во форма:

Поврзаниот брзински потенцијал, кој ја задоволува Лапласовата равенка (1) во внатрешноста на течноста, како и кинематичките гранични услови на слободната површина (2) и креветот (3), е:

со и хиперболичната синусна и хиперболична косинусна функција, соодветно. Но, и исто така, треба да ја задоволат динамичката гранична состојба, што резултира со нетривијални (не-нула) вредности за амплитудата на бранот само ако е задоволена врската на линеарната дисперзија:

со хиперболичната тангента. Значи, аголната честота и брановиот број - или еквивалентно период и бранова должина - не можат да се изберат независно, туку се поврзани. Ова значи дека ширењето на брановите на површината на течноста е својствен проблем. Кога и задоволуваат релацијата на дисперзија, брановата амплитуда може слободно да се избере (но доволно мала за Ејровата бранова теорија да биде валидна апроксимација).

Табела со количини на бранови Во табелата подолу, дадени се неколку количини на проток и параметри според Ејровата бранова теорија. Дадените количини се за малку поопшта ситуација како за решението дадено погоре. Прво, брановите може да се шират во произволна хоризонтална насока во рамнина. Векторот на брановиот број и е нормален на брановите врвови. Второ, се прави додаток за средна брзина на проток , во хоризонтална насока и униформа над (независно од) длабочината . Ова воведува доплеровско поместување во односите на дисперзија. На локација фиксирана на Земјата, набљудуваната аголна честота (или апсолутна аголна честота) е . Од друга страна, во референтна рамка која се движи со средната брзина (така што средната брзина како што е забележана од оваа референтна рамка е нула), аголната честота е различна. Се нарекува внатрешна аголна честота (или релативна аголна честота ), означена . Така, при чисто браново движење, со , двете честоти и се еднакви. Брановиот број (и брановата должина ) се независни од референтната рамка, и немаат доплерово поместување (за монохроматски бранови).

Табелата ги дава само осцилаторните делови на количините на проток - брзини, поместување на честички и притисок - а не нивната средна вредност. Поместувањата на осцилаторните честички и се временските интеграли на брзините на осцилаторниот тек и соодветно.

Длабочината на водата е класифицирана во три режими:Dean & Dalrymple (1991) pp. 64–65

длабока вода – за длабочина на вода поголема од половина од брановата должина, , фазна брзина на брановите е под влијание на длабочина (ова е случај за повеќето бранови на морето и океанот површина),The error in the phase speed is less than 0.2% if depth is taken to be infinite, for . плитка вода – за длабочина на вода помала од 5% од брановата должина, , фазната брзина на брановите зависи само од длабочината на водата и повеќе не е во функција на периодот или брановата должина;The error in the phase speed is less than 2% if wavelength effects are neglected for . и средна длабочина - сите други случаи, , каде што и длабочината на водата и периодот (или брановата должина) имаат значително влијание врз решението на Ејровата бранова теорија.

Во ограничувачките случаи на длабока и плитка вода, може да се направат поедноставни приближувања на растворот. Додека за средна длабочина, треба да се користат целосните формулации. Својствата на гравитациските бранови на површината на длабока вода, плитка вода и на средна длабочина, според Ејрова бранова теоријаквантитетсимболединицидлабока вода ()плитка вода ()средна длабочина( и )надморска височина на површинатаmбранова фазаradаголна честотаrad·s−1внатрешна аголна честотаrad·s−1единица вектор во насока на ширење на бранот–дисперзивен односrad·s−1фазна брзинаm·s−1групна брзинаm·s−1ратио–хоризонтална брзинаm·s−1вертикална брзинаm·s−1хоризонтално поместување на честичкиmвертикално поместување на честичкиmосцилација на притисокотN·m−2

Ефекти на површинска напнатост