Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre:
Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.
Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga Pn(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).
Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa Pn(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom Pn(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:
At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre () følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten
og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar. Pn kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:
.
I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.
Sjå òg Tilknytt Legendrefunksjon Gaussisk kvadratur Gegenbauerpolynom Legendre sine rasjonelle funksjonar Turán-ulikskapane Legendrebølgjer
Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Legendre polynomials» frå , den 9. mars 2010. oppgav desse kjeldene: .
Bakgrunnsstoff Ei rask uformell utleiing av Legendrepolynom i kvantemekanikken til hydrogen Wolfram MathWorld om Legendrepolynom Modul for Legendrepolynom av John H. Mathews
Kategori:Spesielle hypergeometriske funksjonar Kategori:Ortogonale polynom Kategori:Polynom