thumb|right|En funksjon tar inn og produserer , her sammenlignet med en maskin som gjør om data En funksjon er i matematikk en relasjon mellom to mengder, slik at det til ethvert element i den første mengden (funksjonsargument, uavhengig variabel, -verdi) blir tilordnet ett element i den andre mengden (funksjonsverdi, avhengig variabel, -verdi). Et eksempel på en slik relasjon er som viser forholdet mellom argumentet og kvadratet av dette og som leses «f av x er lik x i andre». Presentasjonen av en formell definisjon av en funksjon varierer i litteraturen.
Funksjonsbegrepet er svært sentralt i moderne matematikk og inngår også som en viktig del av matematikkundervisningen i skolen.
En funksjon kan spesifiseres på mange forskjellige måter: som en formel, som en graf, ved å beskrive egenskapene eller ved å spesifisere en algoritme for funksjonsverdiene. Funksjonen kan også defineres ved å beskrive forholdet til en annen funksjon, for eksempel som en invers funksjon eller som en sum av to funksjoner.
Som en følge av at funksjonsbegrepet er så viktig i matematikk, eksisterer det en stor og rik terminologi knyttet til dette. Begrepene avbildning, operator, transformasjon og det engelske mapping brukes av og til synonymt med «funksjon», av og til med en tillagt nyanse i forhold til denne. Ofte brukes begrepene operator, transformasjon og mapping spesielt for funksjoner der både argumentmengden og verdiområdet er abstrakte rom, slik som for en lineær transformasjon. Operator brukes ofte for å betegne en funksjon der definisjonsmengden består av funksjoner.
Historie thumb|right|Gottfried Leibniz Relasjoner mellom to typer størrelser dukker tidlig opp i matematisk historie, selv om det skulle gå lang tid før slike relasjoner ble eksplisitt omtalt som en «regel» eller enda mer presist, som en «funksjon». Telling som grunnleggende operasjon er en form for funksjon, med en relasjon mellom abstrakte tall og et sett av objekter. Fra oldtidens Mesopotamia har vi tabeller med relasjoner mellom tall og inverser, kvadrattall og kubikktall. Utarbeiding av forskjellige former for matematiske tabeller har vært viktig helt siden oldtiden og fram til dagens almanakker, ikke minst motivert ut fra astronomi. De første formene for tabulering av trigonometriske relasjoner finner vi i gresk matematikk fra før Kristi fødsel. Tabulering av matematiske funksjoner fortsatte helt til utviklingen av datamaskiner gjorde slike tabeller overflødige, og Mathematical Tables Project ble avviklet i 1948. Dette prosjektet hadde resultert i utgivelsen av standardverket Handbook of Mathematical Functions, der siste utgave kom i 1972.
En annen viktig inspirasjonskilde som sakte og gradvis ledet opp til introduksjonen av funksjoner, var studiet av kurver, et studium som også har røtter i gresk matematikk. Det skulle likevel gå svært lang tid fra gresk matematikk til de første forsøkene på en formalisering av funksjoner fant sted. Nicole Oresme (1323?-1382) introduserte idéen om at en relasjon mellom målbare fysiske størrelser kan visualiseres som en plan figur, som vi i dag ville kalle grafen til en funksjon. René Descartes (1596-1650) og Pierre de Fermat (1601-1665) la grunnlaget for analytisk geometri og dermed sammenhengen mellom koordinater og kurver. Descartes påpekte at en ligning i to variable, representert ved en kurve, vil definere en relasjon mellom de to størrelsene. Fermat ga ligninger for kjeglesnittene, og drøftet også metoder for å finne maksimum til en «kvantitet», som var ett av ordene brukt for å omtale det vi i dag vil kalle en funksjon.
Studiet av kurver var en viktig motivasjon for differensial- og integralregning, utviklet omtrent samtidig og uavhengig av hverandre av Isaac Newton (1642-1726) og Gottfried Leibniz (1646-1716). Newton brukte symbolet for å betegne den deriverte av en størrelse . Leibniz var den første til å bruke ordet «funksjon», i 1694. Ordet ble konstruert fra «functus», som er perfuktum partisipp av det latinske verbet «fungi», med betydning «å utføre». Leibniz introduserte også begrepene «variabel», «parameter» og «konstant».
En funksjon ble av Leibniz skrevet som en enkelt gresk bokstav eller ved hjelp av symbol
Leonhard Euler (1707-1783) var den første, i 1734, som skrev en funksjon som , der bruken av bokstaven var inspirert av ordet funksjon.. For en funksjon av to variable brukte brukte Euler senere flere ganger en notasjon med et ekstra kolon, som i .
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) bidro med verket Theorie des fonctions analytiques (Paris, 1797) sterkt til å klargjøre funksjonsbegrepet og også til videre bruk av funksjonssymbolet . Verket introduserer også notasjonen for den deriverte av funksjonen.
Differensial- og integralregningen skapte interesse både for kurver og funksjoner, ut over de tradisjonelle kjeglesnittene og de rasjonale funksjonene. Rasjonale funksjoner er funksjoner som kan uttrykkes som brøker av polynom. Selv integralet av en enkel funksjon som krever bruk av transcendente funksjoner, funksjoner som ikke kan uttrykkes ved hjelp av polynomuttrykk. Betafunksjonen og gammafunksjonen er to slike transcendente funksjoner, begge introdusert av Euler. Navnene og symbolene for disse to funksjonene ble først etablert mange år senere. Niels Henrik Abel (1802-1829) har sammen med Carl Gustav Jacobi (1804-1851) og Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fått æren av å ha introdusert elliptiske funksjoner, en generalisering av trigonometriske funksjoner.
Viktig for bruken av stringens og presisjon i matematisk analyse for funksjoner var arbeidet til Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy er kanskje mest kjent for å etablere kompleks funksjonsteori, det vil si studiet av funksjoner der både argument og funksjonsverdi er komplekse tall. Arbeidet til Cauchy ble videreført av blant andre Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) og Bernhard Riemann (1826-1866). Den førstnevnte oppdaget hvordan komplekse funksjoner kan utvikles i uendelige potensrekker, det som i dag kalles Laurent-rekker.
I analysen til Leibniz og Newton er funksjonene reelle og kontinuerlige deriverbare størrelser. Det hadde lenge vært velkjent at slike funksjoner under nokså generelle vilkår kan utvikles i potensrekker eller Taylorrekker, og funksjoner som oppfyller slike vilkår kalles analytiske. Joseph Fourier (1768-1830) antok at alle funksjoner også kan utvikles i rekker av trigonometriske funksjoner, det vi i dag kaller fourierrekker. For å kunne utvikles i en fourierrekke trenger funksjonen ikke å være kontinuerlig, den kan ha periodiske diskontinuiteter. I første halvdel av det attende århundre begynte matematikere å trekke fram flere funksjoner som brøt med den tradisjonelle forestillingen til Leibniz og Newton: Bernhard Bolzano (1781-1848) publiserte i 1834 et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i noe punkt. Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) ga et eksempel på en funksjon som ikke er kontinuerlig i noe punkt: Funksjonen har verdien for rasjonale argument og verdien for irrasjonale argument. Denne funksjonen kalles nå Dirichlets funksjon. Bernhard Riemann ga et eksempel på en funksjon som er diskontinuerlig i uendelig mange punkt, men likevel integrerbar.
Erkjennelsen av det eksisterte «patologiske» funksjoner førte til en løsrivelse av begrepet «funksjon» fra det geometriske begrepet «kurve». I 1837 definerte Dirichlet en funksjon som «en relasjon mellom to variable og , slik at til en hver numerisk verdi tilordnet , så er det en regel som også tilordner en entydig verdi av ». Denne definisjonen nærmer seg den moderne formen. Løsrivelsen fra geometri var ledd i et større program for å frigjøre matematisk analyse fra geometri, et program der Karl Weierstrass (1815-1897) var en viktig skikkelse. I dette arbeidet var sammenhengen mellom uendelige rekker og funksjoner sentralt.
I løpet av attenhundretallet ble det gradvis innført mer stringens og presisjon i matematisk analyse og i algebra. Samtidig skjedde det en utvikling der matematikken ble mer og mer abstrakt. Som ledd i arbeidet med å etablere en stringent basis for algebra, påpekte George Peacock (1791-1858) i 1834 at elementene som bokstavene og symbolene refererte til, ikke trengte være tall. Disse elementene kunne være hva som helst, så lenge de oppfylle spesifiserte matematisk krav. Mengdelæren innført av Georg Cantor (1845-1918) ble et viktig grunnlag for abstraksjonsprosessen også for funksjoner, der funksjoner ikke lenger trengte være knyttet til tall. Engelske matematikere var spesielt interessert i forbindelsen mellom matematikk og logikk, matematisk logikk. Augustus De Morgan (1806-1871) og Charles Peirce (1839-1914) var begge viktige for å sette i gang et formelt studium av relasjoner, basert på mengdelæren.
I 1908 definerte Godfrey Harold Hardy (1877-1947) en funksjon som en relasjon mellom to variabler og , der det «til noen verdier av alltid korresponderer verdier av ». Hardy krevde ikke at funksjonen skulle være definert for alle verdier av og heller ikke at funksjonen skulle forbinde en verdi av til en enkelt, entydig verdi av . Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn det den vanlige, samtidige matematikken betraktet.
Giuseppe Peano (1858-1932) introduserte i 1888 vektorrom, og den aksiomatiske teorien ble i de første tiårene av 1900-tallet videreutviklet av David Hilbert (1862-1943) og Stefan Banach (1892-1945). I 1908 beskrev Maurice René Fréchet (1878-1973) i doktorarbeidet sitt metriske rom, og han var den første som brukte betegnelsen «rom» om abstrakte matematiske strukturer. Både metriske rom og vektorrom har blitt fundamentalt viktige i funksjonsstudier, ved å knytte abstrakte geometriske egenskaper svarende til lengde og avstand også til funksjoner. En rekke spesielle funksjonsrom er senere blitt definert og studert. Fréchet introduserte i doktorarbeidet også funksjonaler, en spesiell klasse av funksjoner som har reelle eller komplekse tall som verdiområde.
Den engelske fysikeren Paul Dirac (1902-1984) innførte funksjonen som nå kalles Diracs deltafunksjon, til hjelp i kvantefysikk, et eksempel på at «patologiske» funksjoner kan være til nytte i beskrivelse av fysiske fenomen. Deltafunksjonen tilhører en klasse av generalisert funksjoner, også kalt distribusjoner, der teorien ble utviklet av Sergei Sobolev (1908-1989) og Laurent Schwartz (1915-2002).
Formell definisjon
thumb|En funksjons definisjonsmengde i rød farge, verdimengden i gul og verdiområdet i unionen av blå og gul En intuitiv idé om en funksjon som en «regel» er svært gammel og er fremdeles brukt som definisjon i en del lærebøker i matematisk analyse. En funksjon defineres da som en regel som tildeler hvert element i en mengde D ett enkelt element av en mengde C. Selv om definisjonen er tilstrekkelig for mange formål, er det ikke alltid tilfredsstillende at den støtter seg på det udefinerte begrepet «regel».
I dag er det vanlig å tolke «regel» som en binær relasjon. Formelt kan en funksjon fra en mengde til en mengde defineres som en mengde av ordnede par i det kartesiske produktet . Mengden skal være entydig, i den forstand at hvis og , så er .
Definisjonen krever ikke at er definert for alle elementer i mengden . Dersom funksjonen er definert for alle elementer i , så sies funksjone å være total. Vanligvis blir ordet funksjon brukt til å bety en total funksjon. Ikke-totale funksjoner er viktige i funksjonsanalyse, matematisk logikk og kategoriteori.
Mengden kalles grafen til funksjonen. Ikke alle forfattere skiller mellom funksjonen og grafen, og denne identifikasjonen fjerner behovet for spesifisere og i den formelle definisjonen.
Definisjonsmengden til funksjonen er mengden av alle elementer som funksjonen er definert for:
Synonyme ord er definisjonsområde, domene og kilde. Et element i definisjonsmengden er et argument for funksjonen. For en total funksjon er .