200px|right|thumb|Venndiagram med unionen mellom A og B
En union eller en foreningsmengde av to mengder A og B er i mengdelære mengden av alle elementer som ligger i minst en av A og B. Unionen skrives som A ∪ B.
Egenskaper til operasjoner på mengder, inkludert union, studeres i mengdealgebra.
Formell definisjon
Unionen av to mengder og er definert ved
.
I et Venn-diagram er unionene lik summen av arealet til hver av de to mengdene.
Symbolet for union ble introdusert av Giuseppe Peano i 1888, da han var redd for at tidligere bruk av plusstegn kunne skape forvirring.*
Definisjonen kan generaliseres til et vilkårlig antall mengder:
Her er en indeksmengde. Uttrykket endelig union brukes når indeksmengden er en endelig mengde, og dette betyr ikke at unionen er en endelig mengde.
Eksempler {a, b, c, d} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e} {x | x er et partall} ∪ {x | x er et oddetall} = {x | x er et heltall} {x | x er et menneske} ∪ {x | x er norsk statsborger} = {x | x er et menneske}
En mengde kan generelt ikke ha dupliserte element, og som vist i det første eksempelet, listes felles element c og d bare en gang i unionen. I det siste eksempelet er alle elementene i den andre mengden inneholdt i den første.
Algebraiske egenskaper
La , og være vilkårlige mengder. Da gjelder en rekke algebraiske egenskaper for union-operasjoner.
Unionen mellom mengder er en assosiativ operasjon, det vil si at parenteser kan plasseres fritt:
En union er også kommutativ:
.
Unionen er idempotent, slik at
.
En union med den tomme mengden har ingen effekt:
. De to operasjonene snitt og union oppfyller distributive lover:
Dersom og er delmengder i en grunnmengde , så kan en definere komplementet som alle elementer i som ikke er med i . Da gjelder
Her er snittet mellom de to mengdene. Beviset for disse to satsene bygger på De Morgans lover.
Referanser
Kategori:Mengdelære Kategori:Binære operasjoner