thumb|300px|Grafisk fremstilling av eksponentialfunksjonen med grunntall a > 1.
Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon på formen
der og er konstanter. Funksjonsargumentet inngår som eksponent i en potens med som grunntall eller basis. Spesielt viktig er funksjonen med grunntall lik eulertallet :
For å presisere grunntallet kalles funksjonen noen ganger den naturlige eksponentialfunksjonen. Denne funksjonen kan defineres på en rekke alternative måter, for eksempel som en uendelig rekke. Funksjonen er generelt definert for komplekse grunntall og komplekse argument, men er i mange fremstillinger og anvendelser begrenset til å være definert bare for reelle tall. Den reelle funksjonen er invers funksjon til den naturlige logaritmefunksjonen, og dette kan brukes som alternativ definisjon. I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen nært knyttet til trigonomertriske funksjoner. Det er også mulig å definere lignende funksjoner for andre typer argument, som kvadratiske matriser og operatorer.
Nær sammenheng mellom den generelle formen og funksjonen med grunntall gjør at det ofte er tilstrekkelig å studere eller bruke den naturlige eksponentialfunksjonen. For relle funksjoner er sammenhengen
der er den naturlige logaritmen til . I kompleks analyse er generelt flertydig, mens er entydig.
Eksponentialfunksjonen har en rekke egenskaper som gjør den til en svært viktig funksjon i matematikk, naturvitenskap og teknologi. En sentral egenskap i mange anvendelser er at funksjonen er lik sin egen derivert . Mer generelt vil funksjonen være proporsjonal med sin egen derivert, og denne egenskapen omtales som «loven om naturlig vekst» eller «loven om eksponentiell vekst».
Mange viktige egenskaper til eksponentialfunksjonen ble kartlagt av Leonhard Euler på 1700-tallet.
Definisjon av den reelle funksjonen exp(x)
Både for reelle og komplekse argument eksisterer det flere alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen med grunntall . I mange sammenhenger begrenses funksjonen til kun å være definert for reelle argument, og det følgende avsnittet gir en oversikt over alternative definisjoner for den reelle funksjonen. En definisjon av den reelle funksjonen er ikke generelt overførbar eller gyldig for komplekse argument.
Når en definisjon er valgt, vil alternative definisjoner kunne utledes som egenskaper til funksjonen. Hva som er definisjon og hva som er egenskaper vil derfor kunne variere i ulike framstillinger. Valg av definisjon kan reflektere både en pedagogisk vinkling og hvilke egenskaper en ønsker å fokusere på. Det er en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen, logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner, og valg av definisjon for alle disse vil ofte avhenge av rekkefølgen de presenteres i. Bevis for ekvivalens mellom definisjonene er teknisk omstendelig.
Definisjon som en uendelig rekke
Funksjon er ofte definert som en uendelig rekke:: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.178
Rekken konvergerer absolutt, som kan vises med forholdskriteriet. Den uendelige rekken omtales som en eksponentialrekke. Rekken er også taylorrekken til eksponentialfunksjonen.
Definisjon som en grenseverdi
For reelle argument kan defineres som en grenseverdi:
Flere ulike former for grenseverdien er i bruk, for eksempel
Definisjon som en invers funksjon
Eksponentialfunksjonen kan for reelle argument defineres som den inverse funksjonen til den naturlige logaritmefunksjonen, forutsatt at denne er definert uavhengig av eksponentialfunksjonen.G. Thomas, R. Finney: Calculus... s.312 En slik uavhengig definisjon er gitt som et integral:
Den reelle eksponentialfunksjonen defineres som den inverse funksjonen av denne:
Definisjon som løsning av en differensialligning
Flere transendentale funksjoner i matematikk defineres som løsning av en differensialligning. Også eksponentialfunksjonen kan defineres som løsningen av en slik ligning:
Definisjon ved hjelp av potenser
Eksponentialfunksjonen for et vilkårlig reelt grunntall kan innføres ved hjelp av potensuttrykk.: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.179 Det er ikke vanlig å definere funksjonen formelt på denne måten, men framgangsmåten kan brukes til å motivere sammenhengen med potenser. Funksjonen defineres trinnvis fra for ulike typer reelle tall.
La være et vilkårlig positivt reelt tall større enn 1. Når argumentet er et positivt naturlig tall definerer en
.
I tillegg definerer en .
For et rasjonalt tall på formen definerer en som det positive tallet som er slik at . For et vilkårlig rasjonalt tall bruker en deretter definisjonen
Eksponentialfunksjonen er nå definert for alle rasjonale tall, og en kan vise at funksjonen oppfyller regnereglene for potenser:
Funksjonen er også strengt voksende for rasjonale argument. For et vilkårlig reelt tall kan en fylle ut definisjonen ved verdier «mellom» rasjonale argument, som
Her er en forkortelse for supremum. For et (positivt) grunntall mindre enn 1 definerer en
For et negativt argument bruker en
Det kan da vises at funksjonen oppfyller regnereglene for potensfunksjonene for et vilkårlig argument.
Definisjon av den komplekse funksjonen exp(z)
Definisjon som uendelig rekke
Rekkedefinisjonen brukt for reelle tall gjelder også for komplekse argument, og rekken konvergerer absolutt for alle komplekse argument:
Definisjon som en grenseverdi
Også bruk av en grenseverdi gjelder som definisjon for komplekse argument:
Definisjon som løsning av en differensialligning
Som for den reelle funksjonen kan den komplekse eksponentialfunksjonen defineres som løsningen av en differensialligning:: R.V. Churchill et al: Complex variables... s.52ff
Den eneste løsningen som er analytisk overalt er .
Definisjon basert på reelle funksjoner
Gitt at eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner er definerte for reelle argument, så kan eksponentialfunksjonen for komplekse argument defineres som:: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.112
Definisjonen reduserer seg til den relle definisjonen når . Denne utvidingen til komplekse argument er den eneste utvidingen som er analytisk i hele det komplekse planet og som oppfyller differensialligningen .
Når skal utvidingen leses som den positive n-te roten av . Dette er et unntak for en generell konvensjon om å lese komplekse røtter som flertydige.
Definisjon av funksjonen for et vilkårlig grunntall
For et vilkårlig grunntall vil en vanligvis basere definisjonen på en definisjon av funksjonen med grunntall e:
Sammenhengen forutsetter at logaritmefunksjonen er definert. For et reelt grunntall er den naturlige logaritmen til . I kompleks analyse er logaritmefunksjonen flertydig, og dette gjør at også funksjonen er flertydig for et vilkårlig grunntall, selv om grunntallet er reelt. Ved å begrense logaritmefunksjonen til prinsipalgreinen blir funksjonen entydig, tilsvarende begrenset til prinsipalgreinen.: R.V. Churchill et al: Complex variables... s.68f
Egenskaper thumb|300px|Ekponentialfunkjoner med grunntall a =1/2 og a = 2.
Grunnleggende egenskaper Den reelle eksponentialfunksjonen er kontinuerlig for alle reelle tall og er alltid positiv. Funksjonen er strengt voksende for grunntall , strengt minkende når . Når er funksjonen konstant. Funksjonen er strengt konveks for alle ulik 1.
For komplekse argument er funksjonen analytisk i hele det komplekse planet, det vil si en hel funksjon. Funksjonen er transendental, i og med at den ikke kan skrives som løsningen av en polynomligning. Rekkevidden til den komplekse funksjonen er hele det komplekse planet, bortsett fra origo. Funksjonen er periodisk, med en rent imaginær periode :
Funksjonen er imidlertid bijektiv dersom argumentet begrenses til stripen , der er imaginærverdien til .
Modulus til den komplekse funksjonen er
Potensegenskaper
Både for den reelle og den komplekse funksjonen gjelder de følgende egenskapene:
Bevis for disse egenskapene avhenger av valg av definisjon for funksjonen og om beviset gjennomføres for den reelle eller den komplekse funksjonen. Egenskapene er sentrale når en skal vise ekvivalens mellom ulike alternative definisjoner.
Egenskapene gjelder også for et generelt reelt grunntall, det vil si for funksjonen . På grunn av flertydigheten til den komplekse funksjonen med et generelt grunntall, gjelder egenskapene kun dersom en begrenser seg til en spesiell grein av den komplekse funksjonen.
Funksjonsverdier
Kombinert gir potensegenskapene funksjonsverdien , en verdi som også kan utledes direkte fra de ulike definisjonene. En annen funksjonsverdi for den komplekse funksjonen er gitt ved
Dette er Eulers likhet, ofte skrevet på formen: R.V. Churchill et al: Complex variables... s.13
Tabellen under gir noen funksjonsverdier for eksponentialfunksjonen med grunntall .
z exp(z) -2 0,13533528... -1 0,36787944... 0 1 1 2,71828183... 2 7,38905610... -1
Rekke-egenskaper
Eksponentialrekken konvergerer absolutt, og dette medfører at en kan bytte rekkefølge på leddene i rekken, uten at verdien til rekken endres. En kan også summere to eksponentialrekker og danne produktet av to slike rekker. Rekken kan deriveres ledd for ledd. Disse egenskapene er viktige for å vise ekvivalens mellom en rekkedefinisjon og alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen.
Grenseverdier
For den reelle funksjonen er grenseverdier gitt ved
-aksen er altså en asymptote for funksjonen, både for større og mindre enn 1.
Når argumentet går mot uendelig vil eksponentialfunksjonen gå raskere mot uendelig enn hvilken som helst potensfunksjon, uttrykt ved den følgende grenseverdien:: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.180
Derviasjons- og integrasjonsegenskaper
Funksjonen er lik sin egen derivert:
For et generelt grunntall følger det fra kjerneregelen at
For det ubestemte integralet medfører det tilsvarende at
der er en vilkårlig konstant.
Relasjon til andre funksjoner
Eksponentialfunksjonen er nært knyttet til både logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner. Eksponentialfunksjonen inngår også i definisjonen av mange andre funksjoner.
Logaritmefunksjonen
Den reelle eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen er inverse funksjoner.
Denne sammenhengen kan brukes til å definere én av de to funksjonene.
For et generelt reelt grunntall og reelle argument er den inverse funksjonen logaritmen med grunntall :
I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen entydig og logaritmefunksjonen flertydig, og sammenhengen mellom de to funksjonene er gitt ved
Trigonometriske funksjoner
For et rent imaginært argument i eksponentialfunksjonen gjelder Eulers formel:G. Thomas, R. Finney: Calculus... s.851
De trigonometriske funksjonene har begge et reelt argument . Om denne formelen blir tatt som en definisjon eller som en egenskap som må bevises, avhenger av valg av framstilling. Dersom rekkedefinisjoner brukes for både eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene, så må Eulers formel bevises ut fra at alle rekkene konvergerer absolutt. Formelen kan følge fra en definisjon av den komplekse funksjonen som en utviding fra relle funksjoner. Eulers formel er da et vanlig utgangspunkt for å definere også komplekse trigonometriske funksjoner:: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.182 : R.V. Churchill et al: Complex variables... s.56
I kompleks analyse er det altså en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner. Dette gjør også at trigononetriske rekker kan skrives på en kompleks form:: W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.185ff
De Moivres teorem er et uttrykk for potensegenskapen til den komplekse eksponentialfunksjonen:: R.V. Churchill et al: Complex variables... s.15
Hyperbolske funksjoner
De to grunnleggende hyperbolske funksjonene er avledet fra eksponentialfunksjonen: