right|thumb|400px|Atferd hos linjer med felles ortogonal linje i tre geometrityper. Ikke-euklidsk geometri er geometri der parallellaksiomet i euklidsk geometri er erstattet av en alternativ formulering. Dette omfatter hyperbolsk geometri, elliptisk geometri og generelt riemannsk geometri. Betegnelsen kan også brukes om geometri som bygger på andre forutsetninger enn den euklidske, som fraktalgeometri.

Oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier i første halvdel av 1800-tallet førte til grunnleggende endringer i tankesett både i matematikk, fysikk og filosofi. Det var ikke lenger mulig å betrakte geometri som «entydig, sann kunnskap».

Ikke-euklidske geometri har anvendelser både i navigasjon, astronomi og i relativitetsteori.

Historie Euklids Elementer Geometri var i over to tusen år ensbetydende med euklidsk geometri, det vi si geometri i tradisjonen etter den greske matematikeren Euklid. Han levde omkring 300 f.Kr., og i verket Elementer presenterer han fem aksiomer som grunnlag for geometri. Det femte aksiomet er det berømte parallellaksiomet. Dette kan formuleres på flere likeverdige måter, og en vanlig formulering er Playfairs aksiom: Gjennom et gitt punkt kan en bare trekke én linje parallell med en gitt linje. Før Euklid hadde det ikke vært systematiske studier av parallelle linjer, så formuleringen av parallellaksiomet er et originalt bidrag av Euklid. Både plangeometri (to dimensojner) og romgeometri (tre dimensjoner) var behandlet i Elementer.

Elementer fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitalisering av europeisk matematikk i middelalderen. Fremgangsmåten med bruk av aksiom, definisjoner, bevis og teorem kom til å påvirke både vitenskap og filosofi. Geometri ble oppfattet som en ideell form for vitenskap, med et solid fundament og med en logisk oppbygging. Filosofene Thomas Hobbes og René Descartes var begge sterkt påvirket av euklidsk geometri. Immanuel Kant brukte geometrisk kunnskap som eksempel på «sikker» kunnskap. I matematikk ble geometri lenge betraktet som selve fundamentet, og også aritmetikk og algebra ble basert på geometri.

Parallellaksiomet I dag er det kjent at parallellaksiomet er et uavhengig aksiom, men mange har forgjeves prøvd å bevise det femte aksiomet ut fra de fire første. Astronomen Ptolemaios (ca. 100–168) og Euklid-kommentatoren Proklos (ca. 410–485) var blant dem som tidlig forsøkte. Arabiske matematikere var mer interessert i algebra og trigonometri enn geometri, men flere prøvde likevel å bevise parallellaksiomet, inkludert Al-Haitham (965-1040), Omar Khayyam (1048-1131) og Al-Tûsi (1201-1274).C.B. Boyer: A history of mathematics s.266–267

Interessen for geometri lå lenge nede, og først på 1600-tallet fikk området fornyet interesse. Denne interessen omfattet også parallellaksiomet, og mellom 1600 og 1800 kan en finne flere hundre forsøk på å konstruere bevis for dette.

Den italienske matematikeren Girolamo Saccheri (1667–1733) kjente til de arabiske forsøkene på å bevise parallellaksiomet, og i verket Euclides ab omni naevo vindicatus («Euklid renset for alle feil») forsøkte han å bruke reductio ad absurdum til beviset.C.B. Boyer: A history of mathematics s.476–477 Tilsvarende som Al-Tûsi tok han utgangspunkt i en firkant med to like sider vinkelrett på en grunnlinje, i dag omtalt som Saccheris firkant. Ved å anta at parallellpostulatet ikke var gyldig, mente Saccheri at han kunne vise at dette førte til et ulogisk resultat. Det han oppfattet som ulogisk var imidlertid konsistent med ikke-euklidsk geometri. Betydningen av Saccheris fremgangsmåte ble ikke oppfattet i ettertiden, og arbeidet ble langt på vei neglisjert og glemt.

I euklidsk geometri er vinkelsummen i en trekant lik to rette vinkler, men det hadde lenge vært kjent at for en trekant på en kuleflate, så er vinkelsummen større en dette. Johann Heinrich Lambert (1728-1777) foreslo at det burde være mulig å finne flater der vinkelsummen er mindre enn to rette vinkler. Som Saccheri tok han utgangspunkt i en firkant, men nå med tre rette vinkler, og han studerte de tre mulige tilfellene for den fjerde vinkelen: spiss, rett, stump. I motsetning til Saccheri var Lambert antagelig klar over at hans eget forsøket på å bevise parallellaksiomet ikke var tilfredsstillende. Han spekulerte på om tilfellet med en spiss vinkel kunne svare til en flate med imaginær kurveradius.

I 1794 ga Adrien-Marie Legendre (1752–1853) ut Élements de géometrié, og dette ble den dominerende lærebok i geometri i lang tid.C.B. Boyer: A history of mathematics s.529 Boken kom i tyve opplag mens Legendre ennå levde. I boka presenterer Legendre flere forsøk på å bevise parallellaksiomet.

Schweikart og Taurinus En tysk jurist og amatørmatematiker, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1857), ga i 1807 ut boka Die Theorie der Parallellinien, nebst dem Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie («Teori for parallelle linjer,med et forslag om å forvise dem fra geometrien»). På tross av tittelen omhandler ikke boka alternativ til parallellaksiomet. I 1818 sendte imidlertid Schweikart et lite dokument til Carl Friedrich Gauss (1777-1855) og presenterte en geometri der vinkelsummen i en trekant er mindre enn to rette vinkler, som i hyperbolsk geometri. Han kalte denne geometrien for «astral geometri», men dokumentet ble ikke publisert. Schweikart motiverte også nevøen, matematikeren Franz Taurinus (1794-1874), til å arbeide med trigonometri knyttet til en «kuleflate» med imaginær radius. Taurinus var likevel overbevist om allmenngyldighet til parallellaksiomet, og han innså ikke rekkevidden av eget arbeid. Også Taurinus utvekslet i 1824 brev med Gauss.

Gauss, Lobatsjevskij og Bolyai thumb|Nikolaj Lobatsjevskij, malt av Lev Kryukov (før 1843) Som student hadde Carl Friedrich Gauss gjort forsøk på å bevise parallellaksiomet.C.B. Boyer: A history of mathematics s.567 Senere, på 1820-tallet, konkluderte han med at et slikt bevis ikke er mulig, men at det tvert i mot er mulig å bygge geometrier på alternativer til aksiomet. Han publiserte imidlertid ingenting om dette.C.B. Boyer: A history of mathematics s.585-590 Gauss var generelt lite villig til å uttale seg om eget og andres arbeid knyttet til ikke-euklidsk geometri.

Siden idéene til Gauss om alternative geometrier ikke var kjent, fortsatt flere forsøkene med å konstruere bevis, inkludert russeren Nikolaj Lobatsjevskij (1792-1856). Han studerte ved universitetet i Kazan og begynte selv tidlig å undervise der. I et undervisningsdokument om geometri fra 1823 skriver Lobatsjevskij om parallellaksiomet at «intet rigorøst bevis for dette har blitt funnet». Tre år senere presenterte Lobatsjevskij en artikkel på universitetet om grunnleggende prinsipper i geometri, der han omtalte flere teorem gjeldende for det som nå kalles ikke-euklidsk geometri. Artikkelen er gått tapt, men året 1826 er likevel omtalt som et første «uoffisielt» fødselsår for ikke-euklidsk geometri.

I 1829 publiserte Lobatsjevskij en artikkel i et tidsskrift i Kazan om prinsippene for geometri. Her presenterer han en geometri basert på et alternativ til parallellaksiomet: Gjennom et punkt A. som ikke ligger på en linje BC, kan det trekkes mer enn én linje som ikke skjærer BC. Denne geometrien var fullt og helt uten selvmotsigelser, helt tilsvarende euklidsk geometri. Lobatsjevskij oppfattet likevel den nye geometrien til å være såpass i strid med vanlig fornuft, at han brukte navnet «imaginær geometri». I dag er denne kjent som hyperbolsk geometri, og 1829 regnes som det offisielle fødselsåret for ikke-euklidsk geometri.

Lobatsjevskij skrev tre omfattende arbeider om den nye geometrien, det første på russisk (1835-38), det andre på russisk og tysk (1840) og det tredje på russisk og fransk (1850). Gauss ble kjent med Lobatsjevskijs andre, tyske arbeid. Det skulle likevel ta tid før Lobatsjevskij nye geometri ble vidt kjent.

En som hadde forsøkt hele livet på å bevise parallellaksiomet var en ungarsk venn av Gauss, Farkas Bolyai (1775-1856). Sønnen Janos Bolyai (1802-1860) fulgte i farens fotspor, men innså raskt at parallellaksiomet ikke lot seg bevise. Uten å vite om Lobatsjevskijs arbeid brukte Janos samme utgangspunkt, med flere mulige linjer gjennom et punkt, alle parallelle til en gitt linje. Janos sendte betraktningene til faren, som tok disse med som et appendiks til et av sine egne verk. Dette verket har en forhåndsgodgjenning (imprimatur) datert 1829, samme år som Lobatsjevskijs artikkel ble gitt ut, men kom endelig ut først i 1832. Janos var generelt frustrert over mangel på anerkjennelse samt skuffelse over å se Lobatsjevskijs tyske arbeid, så han publiserte ikke ytterlgere materiale.

Av disse tre er Lobatsjevskij den som ettertiden har gitt størsteparten av æren for utviklingen av ikke-lineær geometri. Både Lobatsjevskij og Bolyai har antagelig trodd at det kun eksisterte en eneste form for ikke-euklidsk geometri.

Bernhard Riemann I 1854 ble Bernhard Riemann (1826-1866) utnevnt til Privatdozent ved universitetet i Gõttingen, og i tysk tradisjon måtte han gjennomgå habilitasjon, med et skriftlig arbeid og en prøveforelesing. Riemann presenterte en stor generell og enhetlig oversikt over grunnlaget for geometri. Angrepsvinkelen var abstrakt, der Riemann drøftet geometri i et rom med vilkårlig dimensjon. Typene geometri Riemann drøftet er senere omtalt som Riemann-geometrier eller riemannske geometrier. Den enhetlige fremstillingen var spesielt relevant for differensialgeometri, som er et lokalt studium av glatte flater. Både euklidsk geometri og Lobatsjevskijs ikke-euklidske geometri var inkludert som spesialtilfeller i den enhetlige fremstillingen. Elliptisk geometri var også inkludert, en type geometri uten parallelle linjer.

I ettertiden er Riemanns prøveforelsening beskrevet som «den meste berømte forelesning i matematikkens historie» og «den viktigste hendelse i historien til differensialgeometri».

Riemanns skriftlige arbeid ble utgitt først i 1867.

Eugenio Beltrami

Den italienske matematikeren Eugenio Beltrami (1835-1900) publiserte i 1868 en artikkel med den første konkrete modellen for hyperbolsk geometri. Geodetiske kurver på en flate med konstant negativ gaussisk krumning ble tolket som «rette linjer». En flate med en slik egenskap kalte Beltrami en pseudokule, inspirert av at en kule har konstant positiv krumning.

Beltramis modell - i det euklidske rommet - viste at hyperbolsk geometri er like korrekt og konsistent som den euklidske geometrien.

Felix Klein Felix Klein (1849-1925) ble professor i matematikk ved universitetet i Erlangen i 1872, og i den forbindelse presenterte han i en forelesning det som i ettertiden er kalt Erlangen-programmmet.C.B. Boyer: A history of mathematics s.592-594 Geometri ble definert som studiet av figur-egenskaper som ikke endres under en gruppe av transformasjoner. Kleins idé var at både euklidsk og ikke-euklidske geometrier var spesialtilfeller av projektiv geometri. Klein er opphavet til navnene hyperbolsk og elliptisk geometri. For hyperbolsk geometri ga Klein en modell som et alternativ til Beltramis modell.

Relativitetsteorien Kovariant relativitetsteori er en formulering av den spesielle relativitetsteorien, med effekten av tyngdekraften modellert som en krumning i et firedimensjonalt tidrom. I nærheten av massive legemer vil rommet krumme seg og opptre som ikke-euklidsk. Denne formuleringen ble introdusert i 1908 av Hermann Minkowski og ble også brukt av Albert Einstein da han presenterte den generelle relativitetsteorien i 1915. Dette viste at ikke-euklidsk geometri kunne ha anvendelser i den virkelige verden.

Ringvirkninger Oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier er blitt kalt «den kopernianske revolusjon i geometrien». Tilsvarende Nikolaus Kopernikus' formulering av et heliosentrisk verdensbilde, kom ikke-euklidske geometrier til å revolusjonere synet på matematikk og med ringvirkninger i mange vitenskaper.